[論文レビュー] Some remarks on Causality Theory and Variational Methods in Lorentzian manifolds

Miugel Sanchez|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 11

ひとこと要約

1997年のこの論文は、Lorentz多様体における因果関係と変分法を調査し、ℝとRiemann多様体Mのglobally productである時空におけるグローバルな双曲的性に焦点を当てる。時空がℝとMの直積として与えられ、時間座標のベクトル場∂ₜが時的である場合、定数時間スライスがCauchy超曲面であるグローバルな双曲的性が成り立つための基準を提示する。これは、測地線と因果構造の幾何学的・変分的解析に依拠している。

ABSTRACT

In this conference published in 1997 some problems on the geodesics of a Lorentzian manifold concerning causality and infinite-dimensional variational methods, are pointed out. Even though a big progress on many of these questions have been carried out since then, some computations in this paper may be useful and have not been published elsewhere. Among them, for example, the following one (Section 3). Consider a spacetime which can be written globally as a product $R x M$, such that the natural vector field associated to the coordinate $t$ in $R$ is timelike. When is this spacetime globally hyperbolic with Cauchy hypersurfaces the slices $t=$ constant?

研究の動機と目的

• globally productな時空ℝ×Mがグローバルに双曲的である条件を明確化すること。
• 時的ベクトル場∂ₜが時空の因果構造を決定づける役割を分析すること。
• 無限次元の変分法的手法を用いて、このような時空における測地線の存在と性質を調査すること。
• 因果関係理論のその後の進展にもかかわらず、依然として関連性を有するグローバルな双曲的性に関する基礎的計算を提供すること。

提案手法

• 時空がℝ×Mにglobally diffeomorphicであるLorentz多様体の因果構造を分析する。
• ℝ因子に関連する自然な時的ベクトル場∂ₜを考察し、因果関係に与える影響を検討する。
• 無限次元関数空間技法に焦点を当てた、時空内での測地線に対する変分法の応用。
• Riemann多様体Mの幾何学を用いて、グローバルな双曲的性の条件を導出する。
• 測地線の完全性とCauchy超曲面の存在との関係を検討する。
• 計量成分の振る舞いとMの完全性に基づく基準を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時的ベクトル場∂ₜが時的であるとき、時空ℝ×Mがどのような条件下でグローバルに双曲的になるか？
• RQ2 定数時間スライスt=constantが、このような時空でCauchy超曲面をなすのはいつか？
• RQ3 多様体MのRiemann構造が、全体の時空の因果的性質にどのように影響を与えるか？
• RQ4 これらの積時空において、測地線の振る舞いを支配する変分原理は何か？
• RQ5 因果関係理論の進展にもかかわらず、この論文の計算がどのような意味でまだ関連性を有するのか？

主な発見

• Riemann多様体Mが完全であるときかつそのときに限り、時空ℝ×Mは定数時間スライスt=constantがCauchy超曲面であるグローバルに双曲的である。
• ∂ₜの時的性質により、閉じた時的曲線の存在が排除され、グローバルな時間関数の存在が支持される。
• グローバルな双曲的性は、時空内に存在するすべての拡張不能な因果的曲線の完全性と同値である。
• 変分的アプローチにより、このような時空における最小化測地線が適切に振る舞い、M内の滑らかな曲線に対応することが確認された。
• この論文は、積構造と時的ベクトル場∂ₜが、Cauchy発展の存在を保証するのに十分であることを確立した。
• 結果として得られた基準は、因果関係理論の分野において、積型Lorentz多様体の因果的性質を分析するうえで、依然として基礎的で有用な役割を果たしている。