[論文レビュー] Some remarks on conic degeneration and bending of Poincaré-Einstein metrics

Rafe Mazzeo, Michael A. Singer|ArXiv.org|Sep 10, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正の第一チゼル類をもつコンpakto Kähler-Einstein多様体上のラインバンドルの全空間上で、明示的な1パラメータ族のPoincaré-Einstein計量を構成する。Page-Popeのアンザッツを用いて、特異点をもつ計量への「鋭い崩壊」（conic degeneration）および「曲げ」（bending）現象を示し、非積分的・非双曲的設定において、このような現象の最初の明示的例を提供するとともに、標準的な球面構造とは異なる固定された共形無限遠境界をもつ族を明らかにする。

ABSTRACT

Let $(M,g)$ be a compact Kähler-Einstein manifold with $c_1 > 0$. Denote by $K o M$ the canonical line-bundle, with total space $X$, and $X_0$ the singular space obtained by blowing down $X$ along its zero section. We employ a construction by Page and Pope and discuss an interesting multi-parameter family of Poincaré--Einstein metrics on $X$. One 1-parameter subfamily $\{g_t\}_{t>0}$ has the property that as $t\searrow 0$, $g_t$ converges to a PE metric $g_0$ on $X_0$ with conic singularity, while $t^{-1}g_t$ converges to a complete Ricci-flat Kähler metric $\hat{g}_0$ on $X$. Another 1-parameters subfamily has an edge singularity along the zero section of $X$, with cone angle depending on the parameter, but has constant conformal infinity. These illustrate some unexpected features of the Poincaré-Einstein moduli space.

研究の動機と目的

• コンパクトなKähler-Einstein多様体 $M$ に対して $c_1 > 0$ を満たすラインバンドル $L \to M$ の全空間 $X$ 上で、明示的なPoincaré-Einstein計量の族を構成すること。
• これらの計量の極限における振る舞い、特に鋭い崩壊および端面特異性の形成を分析すること。
• Poincaré-Einstein計量のモジュライ空間を調査すること、特に特異極限および固定された共形無限遠境界の役割に注目すること。
• 一般化された解析的グリューニング構成のための、特異極限をもつEinstein計量の具体的な例を提供すること。

提案手法

• Page-Popeのアンザッツを用いて、ラインバンドル $L \to M$ の全空間 $X$ 上で、多パラメータ族のPoincaré-Einstein計量を構成する。
• 半径座標 $\rho$ と、2階常微分方程式を満たす関数 $U(\rho)$ を用いて計量のアンザッツを定義する。
• パrameter $t \searrow 0$ および $r_1 \to 1$ の極限を分析し、特異点をもつPoincaré-Einstein計量への収束を示す。
• スケーリング $t^{-1}g_t$ を適用することで、零断面付近での明示的漸近挙動をもつ、完全なリッチ平坦Kähler計量 $\hat{g}_0$ を得る。
• 共形無限遠境界 $[\gamma_0]$ を用いて境界構造を比較し、特に $k=1$ および $k=n+1$ の場合に注目する。
• 命題3.1を適用して、円錐角パラメータ $\alpha \neq 1$ のとき、端面特異性の形成を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非双曲的・非積分的設定において、Poincaré-Einstein計量の鋭い崩壊を明示的に構成・分析することは可能か？
• RQ2 Poincaré-Einstein計量の族は、codimension 2部分多様体に沿って「曲げ」を示すのか？その幾何学的・解析的条件は何か？
• RQ3 共形無限遠境界が固定された1パラメータ族のPoincaré-Einstein計量が、標準的な球面構造とは異なるものであることは可能か？
• RQ4 リッチ平坦なPoincaré-Einstein計量が、線形化されたEinstein作用素に対する $L^2$ ヤコビ場をもつという意味で「退化」しているとみなせるか？
• RQ5 明示的な例は、鋭い崩壊を示すEinstein計量の解析的グリューニング構成における障害を理解する手がかりとなるか？

主な発見

• 1パラメータ族 $\{g_t\}_{t>0}$ は、零断面を blown down した結果得られる $X_0$ 上で、特異点をもつPoincaré-Einstein計量 $g_0$ に収束する。
• スケーリングされた計量 $t^{-1}g_t$ は、元の全空間 $X$ 上で完全なリッチ平坦Kähler計量 $\hat{g}_0$ に収束する。
• 別の1パラメータ族は、零断面に沿って端面特異性を示し、$r_1$ が1から $\infty$ に増加するにつれ、円錐角が $2\pi(n+1)/k$ から $\infty$ に増加する。
• $k=n+1$ の場合、端面特異性をもつPE計量の族は、滑らかに崩壊する家族と同じ共形無限遠境界を持つが、共形構造は異なるため、小さな摂動のもとで滑らかなPE埋め込みが存在しない可能性を示唆する。
• 標準的な双曲計量 $B^{2n+2}$ は、$\Lambda = -2n-1$, $c=1$, $r_1 \searrow 1$ の円錐極限として得られる。
• 平坦計量 $\mathbb{R}^{2n+2}$ は、$U(\rho) = 1$ のとき $g_t/t$ の極限として回復され、これはリッチ平坦Kähler極限に対応する。