[論文レビュー] Some remarks on diophantine equations and diophantine approximation

Claude Lévesque, Michel Waldschmidt|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ディオファントス近似における有限性結果、代数的曲線上の整数点、および数体上の一般化された単位方程式の解の間の深い同等性を確立する。3次の場合のトゥエ＝マーラーの定理が、すべての次数 ≥3 に対して完全な結果を示すことを証明し、S単位方程式と射影幾何学を通じて、シーゲルの定理とシュミットの部分空間定理に接続する。

ABSTRACT

We first recall the connection, going back to A. Thue, between rational approximation to algebraic numbers and integer solutions of some Diophantine equations. Next we recall the equivalence between several finiteness results on various Diophantine equations. We also give many equivalent statements of Mahler's generalization of the fundamental theorem of Thue. In particular, we show that the theorem of Thue--Mahler for degree $3$ implies the theorem of Thue--Mahler for arbitrary degree $\ge3$, and we relate it with a theorem of Siegel on the rational integral points of the projective line $¶^1(K)$ minus $3$ points. Finally we extend our study to higher dimensional spaces in connection with Schmidt's Subspace Theorem.

研究の動機と目的

• ディオファントス近似における有限性結果、曲線上の整数点、および単位方程式の解の間の同等性を統一的かつ明確にすること。
• 3次の場合のトゥエ＝マーラーの結果が、すべての次数 ≥3 に対して一般化されることを示すこと。
• これらの有限性に関する命題を、P¹から3点を除いた場合のシーゲルの定理と結びつけること。
• シュミットの部分空間定理を用いて、高次元空間への枠組みの拡張を行うこと。
• 射影空間におけるS単位方程式と整数点に関する一貫した同等性を提供すること。

提案手法

• トゥエの元々の定理を用いて、代数的数の有理数近似と斉次ディオファントス方程式の整数解の有限性との間の同等性を確立する。
• 二進形式 F(x,y) と有理数近似 p/q 間の変換を用い、ディオファントス近似と整数点の有限性を結びつける。
• 部分空間定理とヴォイタの予想を、射影空間から超平面を除いた特別な場合に適用し、S単位方程式を一般化する。
• 一般化されたS単位方程式における部分和の消滅を避けるために、S単位の集合 S を S' に拡張する手法を導入する。
• 射影座標と斉次多項式を用いて、Pⁿ から次元の低い空間への問題の還元を行い、整数性条件を保つ。
• 帰納法と還元技術を用いて、高次元 n における有限性が、特に n=2 における有限性を示すことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次の場合のトゥエ＝マーラーの定理は、すべての次数 d ≥ 3 に対して完全な結果を示すか？
• RQ2 トゥエ曲線、モーデル曲線、および超楕円曲線上の整数点の有限性は、ディオファントス近似とどのように関係しているか？
• RQ3 P¹ から3点を除いた場合のシーゲルの定理と一般化されたS単位方程式との正確な関係は何か？
• RQ4 n+1 変数のS単位方程式の解の有限性は、次元を下げた場合に還元可能か？
• RQ5 シュミットの部分空間定理は、超平面配置を持つ高次元射影空間へどのように拡張可能か？

主な発見

• 3次の場合のトゥエ＝マーラーの定理が、すべての次数 d ≥ 3 に対して完全な結果を示す。
• トゥエ曲線上の整数点の有限性は、リウヴィルの上限を改善する代数的数への有理数近似の有限性と同等である。
• n+1 変数の一般化されたS単位方程式は、その対応する射影空間から超平面を除いた場合にS整数点が有限個であるときかつそのときに限り、有限個の解を持つ。
• n ≥ 3 に対して有限性が成り立つという仮定のもとで、1−ε ∈ O_S^× を満たすS単位εの集合は有限であり、これにより n=2 の場合の結果が得られる。
• n におけるS単位方程式の有限性が成り立つならば、低次元の射影空間への還元により、n−t に対しても結果が得られる。
• 一般化されたS単位方程式における適切な部分和の消滅を避けるために、S を S′ に拡張することで、割り切れる問題を回避できる。