[論文レビュー] Some remarks on discrete and semi-discrete transparent boundary conditions for solving the time-dependent Schrödinger equation on the half-axis

Alexander Zlotnik, Ilya Zlotnik|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2014

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限差分スキームを用いて半直線上の時間に依存するシュレーディンガー方程式を解く際の、離散的および準離散的透過境界条件（TBC）の新しい解析を提示する。本稿は、離散的TBCと準離散的TBCの畳み込みカーネルの差に初めてバインドを確立し、離散的TBCを準離散的TBCに置き換えることで、特に改良された準離散的TBC（ISDTBC）を用いる場合、絶対誤差が非常に小さくなることを示している。数値解の$L^2$ノルム差は$4.42\cdot10^{-5}$未満に抑えられる。

ABSTRACT

We consider the generalized time-dependent Schrödinger equation on the half-axis and a broad family of finite-difference schemes with the discrete transparent boundary conditions (TBCs) to solve it. We first rewrite the discrete TBCs in a simplified form explicit in space step $h$. Next, for a selected scheme of the family, we discover that the discrete convolution in time in the discrete TBC does not depend on $h$ and, moreover, it coincides with the corresponding convolution in the semi-discrete TBC rewritten similarly. This allows us to prove the bound for the difference between the kernels of the discrete convolutions in the discrete and semi-discrete TBCs (for the first time). Numerical experiments on replacing the discrete TBC convolutions by the semi-discrete one exhibit truly small absolute errors though not relative ones in general. The suitable discretization in space of the semi-discrete TBC for the higher-order Numerov scheme is also discussed.

研究の動機と目的

• 半直線上の時間に依存するシュレーディンガー方程式を解く際の、離散的TBCと準離散的TBCの関係を分析すること。
• 空間ステップ$h$に依存する明示的で簡略化された形で離散的TBCを表現すること。
• 特定のスキームにおいて、TBCの離散的畳み込みが$h$に依存せず、準離散的対応物と一致するかどうかを調査すること。
• 絶対誤差および相対誤差の観点から、離散的TBCを準離散的TBCに置き換えた際の数値的性能を評価すること。
• 高次Numerovスキームに適した空間離散化された準離散的TBCの提案と分析。

提案手法

• 空間ステップ$h$に依存する簡略化された明示的形で離散的TBCを再定式化すること。
• 特定のスキーム（$\theta = \frac{1}{12}$）を同定し、その場合に時間方向の離散的畳み込みが$h$に依存せず、準離散的TBC畳み込みと一致することを示すこと。
• 離散的TBCと準離散的TBC畳み込みカーネルの差に初めて理論的バインドを確立すること。
• $L^2$ノルムおよび$C$ノルム誤差の観点から、離散的TBC、準離散的TBC、および改良された準離散的TBC（ISDTBC）を数値実験で比較すること。
• 空間平均パrameter $\theta$ を持つ二段階対称有限差分スキーム（Crank-Nicolson型）のパラメトリック族を用いること。
• 線法（method of lines）を用いて準離散的TBCを導出し、空間方向に離散化して高次スキーム用にISDTBCを構築すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 選択されたスキームにおける離散的TBCの時間方向畳み込みが、空間ステップ$h$に依存しないか。
• RQ2 離散的TBC畳み込みのカーネルが、準離散的TBC畳み込みカーネルの観点からバインド可能か。
• RQ3 離散的TBCと準離 discrete TBC を用いた数値解の絶対誤差および相対誤差の観点での比較は。
• RQ4 改良された準離散的TBC（ISDTBC）を用いることで、精度および計算コストにどのような影響を与えるか。
• RQ5 高次Numerovスキームを適切に離散化された準離散的TBCと効果的に結合できるか。

主な発見

• $\theta = \frac{1}{12}$ のスキームでは、離散的TBC畳み込みが$h$に依存せず、準離散的TBC畳み込みと正確に一致する。これにより、二つのカーネル差に初めて理論的バインドを確立できた。
• 数値実験の結果、離散的TBCを準離散的TBCに置き換えることで、絶対誤差が非常に小さくなることが示された。解の$L^2$ノルム差は最大$4.42 \cdot 10^{-5}$未満、$C$ノルム差は$8.87 \cdot 10^{-5}$未満であった。
• 改良された準離散的TBC（ISDTBC）は、特に$C$ノルムにおいて相対誤差を顕著に低減させ、$\theta = \frac{1}{12}$ スキームが全テスト設定の中で最も高い精度を示した。
• $\theta = \frac{1}{12}$ および $J=3200$ の場合、離散的TBCおよびISDTBCの両ケースで絶対誤差の収束次数がほぼ2に近づき、一方、標準的な準離散的TBCでは中程度の$M$以降、相対誤差が頭打ちになることが示された。
• アルゴリズムの実行時間は$M$にほぼ比例し、TBCカーネルの計算コストは線形システムの解法に比べて無視できるほど小さく、ISDTBCアプローチは計算的に効率的であった。
• ISDTBCを用いた数値解は、正確な解よりも互いに非常に近い結果を示しており、適切に実装された場合、準離散的アプローチの高い忠実性を裏付けた。