[論文レビュー] Some remarks on filtered polynomial interpolation at Chebyshev nodes

Donatella Occorsio, Woula Themistoclakis|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2021

Mathematical functions and polynomials参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、チェビシェフノードにおけるフィルタードde la Vallée Poussin（VP）補間法を導入し、補間、多項式保存性、Lebesgue定数の均一有界性を統合することで、ギブス現象を顕著に低減する。Sobolev空間および Hölder–Zygmund空間におけるVP近似作用素の均一有界性を確立し、関数とその導関数の同時近似に対する誤差推定値を提供することで、積分微分方程式の安定な数値解法が可能になる。

ABSTRACT

The present paper concerns filtered de la Vallée Poussin (VP) interpolation at the Chebyshev nodes of the four kinds. This approximation model is interesting for applications because it combines the advantages of the classical Lagrange polynomial approximation (interpolation and polynomial preserving) with the ones of filtered approximation (uniform boundedness of the Lebesgue constants and reduction of the Gibbs phenomenon). Here we focus on some additional features that are useful in the applications of filtered VP interpolation. In particular, we analyze the simultaneous approximation provided by the derivatives of the VP interpolation polynomials. Moreover, we state the uniform boundedness of VP approximation operators in some Sobolev and Hölder--Zygmund spaces where several integro--differential models are uniquely and stably solvable.

研究の動機と目的

• ラグランジュ補間とフィルタード補間の利点を統合した安定的で補間可能な近似法の開発を目的とする。
• VPフィルタード補間子を用いた関数とその導関数の同時近似を分析すること。
• 積分微分方程式の安定的解法を可能とするために、Sobolev空間および Hölder–Zygmund空間におけるVP射影作用素の均一有界性を確立すること。
• 一変数および二変数VP補間のための、離散フーリエ変換に基づく高速計算アルゴリズムの構築。
• 数値実験を通じて、最適なフィルタ作用パラメータ（m）を特定すること。

提案手法

• 方法は、フーリエ–チェビシェフ部分和にde la Vallée Poussinフィルタを適用し、ガウス–チェビシェフ求積法により離散化することで、チェビシェフノードにおける補間性を保持する。
• テンソル積を用いた二変数拡張を導入し、補間性および近似性を維持する。
• 近似作用素 $ V_n^m f $ は、4種類のチェビシェフノードにおける $ f $ の補間を満たす、次数が $ n + m - 1 $ 以下の多項式として定義される。
• 三角多項式の推定とベルンシュタイン型不等式を用いて、重み付き $ L^\infty $、Sobolev、および Hölder–Zygmund空間における $ V_n^m $ の均一有界性を証明する。
• 高速フーリエ変換（FFT）アルゴリズムを活用した離散ブロック変換により、高速計算が可能になる。
• Sobolev空間および $ C^q([-1,1]) $ における $ f $ 及びその導関数の同時近似に対する誤差推定値が導出され、その境界は $ m $ および $ n $ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チェビシェフノードにおけるVPフィルタード補間は、補間性および多項式保存性を維持しつつ、Lebesgue定数の均一有界性を達成できるか？
• RQ2 同じVP補間子を用いて、関数とその最初の $ r \geq 1 $ 個の導関数をどの程度同時に近似できるか？
• RQ3 VP作用素 $ V_n^m $ はSobolev空間および Hölder–Zygmund空間においてどのような写像的性質を示し、$ n $ および $ m $ に関して均一有界であるか？
• RQ4 一変数および二変数設定におけるVP補間子およびその導関数の計算のための効率的な高速アルゴリズムを構築可能か？
• RQ5 実際の近似誤差を最小化するためのフィルタ作用パラメータ $ m $ の最適選択は何か？

主な発見

• VP補間作用素 $ V_n^m $ はSobolev空間および Hölder–Zygmund空間において均一有界であり、関数方程式の安定的近似を保証する。
• Lebesgue定数は $ n $ および $ m $ に関して均一有界であり、$ n \sim m $ であっても、古典的ラグランジュ補間で見られる発散を回避する。
• 関数とその導関数の同時近似に対する誤差推定値が導出され、$ C^q([-1,1]) $ およびSobolev型空間における収束速度が示される。
• $ n \sim m $ のとき、重み付き一様ノルムにおける近似誤差は、最良近似誤差の定数倍で有界であり、近似最良性の挙動を示す。
• 離散フーリエブロック変換を用いた $ V_n^m f $ 及びその導関数の高速計算により、$ O(n \log n) $ の計算量が達成される。
• 数値実験の結果、$ m \sim n $ を選ぶと収束性が最適化され、誤差境界において $ \sqrt{n/m} $ が誤差の主要要因として現れる。