[論文レビュー] Some remarks on Finsler manifolds with constant flag curvature

Robert L. Bryant|ArXiv.org|Jul 31, 2001

Advanced Differential Geometry Research参考文献 15被引用数 69

ひとこと要約

この論文は、定数正のフラッグ曲率をもつフィン슬ァー多様体と、2n-次元多様体上の torsion-free $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-構造の間の深い対応関係を確立し、このようなフィン슬ァー構造が局所的に正の曲率をもつ積分可能で torsion-free な $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-構造に対応することを示している。この構造が測地線空間上の自然なカーラー幾何から生じることを証明し、$S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ が torsion-free 接続のホロノミー群になり得ることを明らかにした—これは文献において以前に予想されていなかったことである。

ABSTRACT

This article is an exposition of four loosely related remarks on the geometry of Finsler manifolds with constant positive flag curvature. The first remark is that there is a canonical Kahler structure on the space of geodesics of such a manifold. The second remark is that there is a natural way to construct a (not necessarily complete) Finsler n-manifold of constant positive flag curvature out of a hypersurface in suitably general position in complex projective n-space. The third remark is that there is a description of the Finsler metrics of constant curvature on the 2-sphere in terms of a Riemannian metric and 1-form on the space of its geodesics. In particular, this allows one to use any (Riemannian) Zoll metric of positive Gauss curvature on the 2-sphere to construct a global Finsler metric of constant positive curvature on the 2-sphere. The fourth remark concerns the generality of the space of (local) Finsler metrics of constant positive flag curvature in dimension n+1>2 . It is shown that such metrics depend on n(n+1) arbitrary functions of n+1 variables and that such metrics naturally correspond to certain torsion-free S^1 x GL(n,R)-structures on 2n-manifolds. As a by-product, it is found that these groups do occur as the holonomy of torsion-free affine connections in dimension 2n, a hitherto unsuspected phenomenon.

研究の動機と目的

• 定数正のフラッグ曲率をもつフィン슬ァー多様体の幾何的構造、特にその測地線空間を通じての解明を目的とする。
• このようなフィン슬ァー構造と、2n-次元多様体上の torsion-free $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-構造との間の対応関係を確立すること。
• torsion-free アフィン接続のホロノミー群として $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ が現れることを示すこと—これは文献において以前に認識されていなかったこと。
• 定数フラッグ曲率 $1$ をもつフィン슬ァー多様体の測地線空間が自然にカーラー構造をもつことの証明。
• Zoll リーマン多様体を用いて、$S^2$ 上に定数正の曲率をもつグローバルなフィン슬ァー計量を構成する方法の提供。

提案手法

• 測地線の空間 $Q$ を $2n$ 次元多様体とみなし、測地線フローから引き継がれる自然なシンプレクティック構造を備える。
• フラッグ曲率が定数かつ正のとき、$Q$ はシンプレクティック形式を平行にする自然なリーマン計量をもつことが示され、カーラー多様体をなす。
• 点が測地線上に対応する完全実部分多様体を用いて、$Q$ 上に自然な $S^1 \cdot \mathrm{O}(n)$-構造を構成する。
• $S^1 \cdot \mathrm{O}(n)$-構造を $Q$ 上の torsion-free $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-構造へ簡約し、これがフィン슬ァー幾何の根拠をなす。
• カルタンの移動標構法と外微分系を用いて、このような構造の局所的自由度を分析する。
• 構造簡約と曲率解析を用い、$S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-構造と定数フラッグ曲率 $1$ をもつ一般化されたフィン슬ァー計量との関連を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数正のフラッグ曲率をもつフィン슬ァー多様体の測地線空間は、自然にカーラー構造をもたせることができるか？
• RQ2 次元 $n+1$ の定数正のフラッグ曲率をもつフィン슬ァー計量の局所的自由度はいかほどか？
• RQ3 $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ は、2n-次元多様体上の torsion-free アフィン接続のホロノミー群として現れ得るか？
• RQ4 リーマン的 Zoll 計量を用いて、$S^2$ 上に定数正の曲率をもつグローバルなフィン슬ァー計量をどのように構成できるか？
• RQ5 torsion-free な $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-構造と、フラッグ曲率 $1$ をもつフィン슬ァー構造との正確な対応関係は何か？

主な発見

• 定数フラッグ曲率 $1$ をもつフィン슬ァー多様体の測地線空間 $Q$ は、シンプレクティック形式がリーマン計量と平行である自然なカーラー構造をもつ。
• $n > 2$ のとき、定数正のフラッグ曲率 $1$ をもつフィン슬ァー計量は、$n(n+1)$ 個の $n+1$ 変数の任意関数に依存して局所的に存在する。
• $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ は、torsion-free アフィン接続のホロノミー群として $2n$-次元多様体上で実現可能であり、これは以前の文献では予想されていなかった現象である。
• 正の曲率をもつ、積分可能で torsion-free な $2n$-次元多様体上の $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-構造は、定数フラッグ曲率 $1$ をもつ局所的フィン슬ァー構造と一対一に対応する。
• 任意の $S^2$ 上のリーマン的 Zoll 計量から、測地線空間上のカーラー構造を用いて、$S^2$ 上に定数正の曲率をもつグローバルなフィン슬ァー計量を構成可能である。
• このような $S^1 \cdot \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-構造の曲率テンソルは、次元 $\dim({\mathcal{K}}_{\circ}(\mathfrak{g}))^{(1)} = 2\binom{n+2}{3} + 2n\binom{n+3}{4}$ の空間に存在し、局所的自由度が確認される。