[論文レビュー] Some remarks on modularity density

Alberto Costa|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2014

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、解像度の限界を克服するために設計されたコミュニティ検出手法であるモジュラリティ密度を分析する。最適解に負のモジュラリティ密度をもつコミュニティが含まれ得ることを示し、完全グラフ（クリーク）が最適分割で分割される可能性があることを示す。著者らは、非負のモジュラリティ密度を保証する制約を提案し、先行研究における誤りを是正する。また、局所探索ヒューリスティクスに依存するため、元の手法の解はしばしば部分最適であることを示している。

ABSTRACT

A "quantitative function" for community detection called modularity density has been proposed by Li, Zhang, Wang, Zhang, and Chen in $[$Phys. Rev. E 77, 036109 (2008)$]$. We study the modularity density maximization problem and we discuss some features of the optimal solution. More precisely, we show that in the optimal solution there can be communities having negative modularity density, and we propose a modification of the original formulation to overcome this issue. Moreover, we show that a clique can be divided into two or more parts when maximizing the modularity density. We also compare the solution found by maximizing the modularity density with that obtained by maximizing the modularity on the Zachary karate club network.

研究の動機と目的

• モジュラリティ密度をコミュニティ検出基準として、その性質を調査すること。
• 特に、最適解において負のモジュラリティ密度をとる可能性があるという、モジュラリティ密度の元の定式化における欠陥を特定すること。
• 最適分割における非負のモジュラリティ密度を保証する制約を提案すること。
• ザッハリ・カレッジ・ネットワークにおける最適解について、元の論文の主張を是正すること。
• 元の手法の解が局所探索ヒューリスティクスに依存するため、部分最適であることを示すこと。

提案手法

• 最適解における非負のモジュラリティ密度を保証する制約を提案し、コミュニティ定義の原則との整合性を高める。
• 提案された制約を用いて混合整数線形プログラミング（MILP）への再定式化を導出する。これにより、正確な最適化が可能になる。
• ザッハリ・カレッジ・ネットワークにおけるモジュラリティ密度最大化を、MILPの正確な最適化により評価する。
• 元のヒューリスティクスに基づく手法とMILPによる正確な解を比較し、乖離を特定する。
• 提案された制約とラディチ・エーアルの弱いコミュニティ定義との関係を分析し、コミュニティの凝集性原理と整合することを示す。
• 4頂点の完全グラフ（クリーク）が7つと、3頂点の完全グラフが1つある31頂点のネットワークを用いて、最適解における負のモジュラリティ密度を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラリティ密度最大化の最適解に、負のモジュラリティ密度値をとるコミュニティが含まれ得るか？
• RQ2 元のモジュラリティ密度定式化では、最適分割において完全グラフ（クリーク）が複数のコミュニティに分割される可能性があるか？
• RQ3 2008年の元の論文で提示されたザッハリ・カレッジ・ネットワークの4コミュニティ解が、モジュラリティ密度最大化において真に最適であるか？
• RQ4 提案された制約は、定式化をどのように改善し、コミュニティ凝集性の原則と整合性を保っているか？
• RQ5 提案された制約とラディチ・エーアルの弱いコミュニティ定義との関係は何か？

主な発見

• 4頂点の完全グラフが7つと3頂点の完全グラフが1つの31頂点ネットワークにおいて、最適解で1つのコミュニティがモジュラリティ密度 -1/3 を示し、最適解において負の値が生じ得ることを示した。
• ザッハリ・カレッジ・ネットワークにおける3コミュニティの最適分割はモジュラリティ密度7.8451を達成し、4コミュニティの解（7.54481）よりも高い値を示した。
• 元の論文（Phys. Rev. E 77, 036109）で提示された4コミュニティ解（7.50909）は部分最適であり、正確な解（7.54481）よりも低いモジュラリティ密度を示した。
• 元の手法の4コミュニティ解は最適でない。頂点24と28が正確な解とは異なるコミュニティに誤って割り当てられていた。
• 正確な最適化により得られた3コミュニティの分割は、ほぼ強いルール（almost-strong rule）によって得られたものと一致しており、既存のコミュニティ検出原理と整合的であることを示唆した。
• 元の論文が4コミュニティ解が最適であると主張しているが、正確な解はより高いモジュラリティ密度値を示しており、この主張は誤りである。