[論文レビュー] Some remarks on Prüfer $\star $--multiplication domains and class groups

David F. Anderson, Marco Fontana+1 more|ArXiv.org|Oct 26, 2007

Rings, Modules, and Algebras参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、すべての非ゼロ多項式 $f,g$ に対して $(\mathbf{c}_D(fg))^\star = (\mathbf{c}_D(f)\mathbf{c}_D(g))^\star$ が成り立つことにより、Pr"ufer $\star$-乗法的整域 (P$\star$MD) および P$v$MD の内容に基づく特徴付けを確立する。これは、半スター操作への一般化を伴う。さらに、$\star$-類群と $t$-類群を区別し、$\text{Cl}^\star(D) \subsetneq \text{Cl}^t(D)$ を満たす整域を同定し、特定の値域整域における $\text{Cl}^v(D)$ を計算する。

ABSTRACT

Let $D$ be an integral domain with quotient field $K$ and let $X$ be an indeterminate over $D$. Also, let $\boldsymbol{\mathcal{T}}:=\{T_λ\mid λ \in Λ\}$ be a defining family of quotient rings of $D$ and suppose that $\ast $ is a finite type star operation on $D$ induced by $\boldsymbol{\mathcal{T}}$. We show that $D$ is a P$ \ast $MD (resp., P$v$MD) if and only if $(\co_D(fg))^{\ast}=(\co_D(f)\co_D(g))^{\ast}$ (resp., $(\co_D(fg))^{w}=(\co_D(f)\co_D(g))^{w}$) for all $0 e f,g \in K[X]$. A more general version of this result is given in the semistar operation setting. We give a method for recognizing P$v$MD's which are not P$\ast $MD's for a certain finite type star operation $\ast $. We study domains $D$ for which the $\ast $--class group $\Cl^{\ast}(D)$ equals the $t$--class group $\Cl^{t}(D)$ for any finite type star operation $\ast $, and we indicate examples of P$v$MD's $D$ such that $\Cl^{\ast}(D)\subsetneq \Cl^{t}(D)$. We also compute $\Cl^v(D)$ for certain valuation domains $D$.

研究の動機と目的

• Pr"ufer $\star$-乗法的整域 (P$\star$MD) および P$v$MD を多項式の内容式を用いて内容に基づく基準で同定すること。
• 有限型スター操作 $\star$ に対して、$\star$-類群 $\text{Cl}^\star(D)$ と $t$-類群 $\text{Cl}^t(D)$ の関係を調査すること、特にそれらが異なる場合に注目する。
• 特に、分岐していない極大イデアルをもつ値域整域を対象として、特定の値域整域における $v$-類群 $\text{Cl}^v(D)$ を計算すること。
• $\text{Cl}^v(D) = 0$ が $D$ が GCD-整域であることを示すのに十分かどうかを検討し、$D$ が $v$-整域または完全整域的閉整域であるにもかかわらず $\text{Cl}^v(D) \neq 0$ となる場合を同定すること。

提案手法

• 多項式 $f \in K[X]$ に対する内容関数 $\mathbf{c}_D(f)$ を用い、すべての非ゼロ $f,g \in K[X]$ に対して $(\mathbf{c}_D(fg))^\star = (\mathbf{c}_D(f)\mathbf{c}_D(g))^\star$ が成り立つことにより、P$\star$MD の基準を定義する。
• 内容式基準をスター操作から半スター操作の設定に一般化し、スター操作の結果をより広い操作のクラスへ拡張する。
• 商環の性質と族 $\{T_\lambda\}$ の定義を用いて、特定の有限型スター操作 $\star$ に対して P$\star$MD でない P$v$MD の例を構成する。
• 分数イデアルとその類群における $v$-操作および $t$-操作の応用を、特に値域整域と $v$-整域の文脈で行う。
• $\star_{\!{}_{f}}$-操作（有限型半スター操作）を用いて、準 $\star$-イデアルとその極大元を分析し、異なる操作のもとでの類群の研究を可能にする。
• GCD-整域、前シュレーダー整域、完全整域的閉整域に関する既知の結果を活用し、$\text{Cl}^v(D) = 0$ の場合と、$\text{Cl}^v(D) \neq 0$ となる反例の構成を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての非ゼロ $f,g \in K[X]$ に対して $(\mathbf{c}_D(fg))^\star = (\mathbf{c}_D(f)\mathbf{c}_D(g))^\star$ が成り立つのは、$D$ が P$\star$MD であるときかつそのときに限る、という条件は何か？
• RQ2 特定の有限型スター操作 $\star$ に対して、P$\star$MD でない P$v$MD を構成できるか？
• RQ3 すべての有限型スター操作 $\star$ に対して $\text{Cl}^\star(D) = \text{Cl}^t(D)$ が成り立つのはいつか？また、$\text{Cl}^\star(D) \subsetneq \text{Cl}^t(D)$ となるのはいつか？
• RQ4 分岐していない極大イデアルをもつ値域整域 $V$ に対して、$\text{Cl}^v(V)$ の構造は何か？
• RQ5 $\text{Cl}^v(D) = 0$ が $D$ が GCD-整域であることを示すのに十分かどうか。また、$\text{Cl}^v(D) \neq 0$ となる $v$-整域は存在するか？

主な発見

• 整域 $D$ が P$\star$MD（別に P$v$MD）であるための必要十分条件は、すべての非ゼロ $f,g \in K[X]$ に対して $(\mathbf{c}_D(fg))^\star = (\mathbf{c}_D(f)\mathbf{c}_D(g))^\star$（別に $(\mathbf{c}_D(fg))^w = (\mathbf{c}_D(f)\mathbf{c}_D(g))^w$）が成り立つことである。
• 特定の有限型スター操作 $\star$ に対して、$\text{Cl}^\star(D) \subsetneq \text{Cl}^t(D)$ を満たす P$v$MD $D$ が存在し、$\star$-類群が $t$-類群よりも真に小さいことが示された。
• 分岐していない極大イデアルをもつ値域整域 $V$ に対して、$\text{Cl}^v(V)$ は非ゼロである可能性がある。[4, 例1] の例では、非有限生成な $v$-イデアル $I$ が $II^{-1} = M$ を満たすことが示された。
• $D$ が $v$-整域であり、$\text{Cl}^v(D) = 0$ ならば、$D$ は GCD-整域であるが、逆は成り立たない。これは、$\text{Cl}^v(D) \neq 0$ となる非 GCD-整域の $v$-整域の例によって示された。
• ランク1で分岐していない極大イデアルをもつ値域整域 $D$ に対して、$\text{Cl}^v(D)$ は非自明になり得る。これは、このような場合に $\text{Cl}^v(D)$ が常に自明ではないことを示している。
• 本稿は、$D$ の $\text{Cl}^v(D)$ が、値域整域の場合と同様に $(\mathbb{R},+)$ の準同型像であるかどうかという未解決の問題を提起し、$\text{Cl}^v(D[X])$ および $\text{Cl}^v(D[\mathbb{Q}^+])$ のさらなる研究を提案している。