[論文レビュー] Some remarks on resonances in even-dimensional Euclidean scattering

T. J. Christiansen, Peter D. Hislop|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、偶数次元ユークリッド散乱において、非負または非正の compact な有界型ポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素は、対数リーマン面 $\Lambda$ の任意のシート上に純虚数の共鳴状態をもたないことが示された。ただし、負のポテンシャルの場合、有限個の可能性があるが、それは負の固有値に関連している。この結果は、奇数次元の場合との対比を解消し、共鳴対称性に関連する散乱理論における微妙な恒等式の誤りを是正する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to prove some results about quantum mechanical black box scattering in even dimensions $d \geq 2$. We study the scattering matrix and prove some identities which hold for its meromorphic continuation onto $Λ$, the Riemann surface of the logarithm function. We relate the multiplicities of the poles of the continued scattering matrix to the multiplicities of the poles of the resolvent. Moreover, we show that the poles of the scattering matrix on the $m$th sheet of $Λ$ are related to the zeros of a scalar function defined on the physical sheet. This paper contains a number of results about "pure imaginary" resonances. As an example, in contrast with the odd-dimensional case, we show that in even dimensions there are no "purely imaginary" resonances on any sheet of $Λ$ for Schrödinger operators with potentials $0 \leq V \in L_0^\infty (\R^d)$.

研究の動機と目的

• 偶数次元ユークリッド散乱における散乱行列の極とリゾルベントの関係を明確化すること。
• 奇数次元における豊富な共鳴状態とは対照的に、偶数次元における純虚数共鳴の存在を調査すること。
• 散乱行列の対称性に関連する標準的恒等式における微細な誤りを是正すること（[27] におけるもの）。
• 散乱行列の $m$ 番目のシート上の極が、物理的シート上でのスカラー関数の零点に対応することを示すこと。
• 非負ポテンシャルに対しては純虚数共鳴が存在しないこと、また負のポテンシャルに対しては偶数次元で有限個の上界が存在することを確立すること。

提案手法

• Sjöstrand と Zworski のブラックボックス散乱フレームワークを用い、リゾルベントおよび散乱行列を対数リーマン面 $\Lambda$ に解析接続することで共鳴を定義する。
• 自由リゾルベントのシート間での正しく修正された解析接続の恒等式を適用：$R_0(e^{im\pi}\lambda) = R_0(\lambda) + imT(\lambda)$、ここで $T(\lambda)$ は特定の積分核を持つ。
• リゾルベントの公式 $|V|^{1/2}R_V(\lambda)|V|^{1/2}(I + (\operatorname{sgn}V)|V|^{1/2}R_0(\lambda)|V|^{1/2}) = |V|^{1/2}R_0(\lambda)|V|^{1/2}$ を用い、共鳴を $I + K(\lambda)$ の零点として特定する。
• 純虚数 $\lambda = i\sigma$ の場合に $K(ie^{im\pi}\sigma)$ を分析し、$m$ 番目のシート上での零点の条件を同定する。
• 偶数次元 $d$ に対して $\chi T(i\sigma)\chi$ が自己共役であることを利用し、摂動項が反自己共役であることを示し、スペクトル解析を可能にする。
• 純虚数共鳴の存在が、$V \leq 0$ のとき $-\Delta + V$ の負の固有値の存在と関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負ポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素について、偶数次元では純虚数共鳴が存在するか？
• RQ2 対数リーマン面 $\Lambda$ の $m$ 番目のシート上での散乱行列の極は、物理的シート $\Lambda_0$ 上のスカラー関数の零点とどのように関係するか？
• RQ3 偶数次元における散乱行列の対称性恒等式の正しい形は何か？ そしてそれは純虚数共鳴の解析にどのように影響を与えるか？
• RQ4 負のポテンシャルに対して、偶数次元における純虚数共鳴の数を上界で抑えられるか？
• RQ5 偶数次元における純虚数共鳴の不在は、奇数次元における無限個の共鳴との対比において、どのように対立するか？

主な発見

• 非負ポテンシャル $V \geq 0$ および偶数次元 $d \geq 2$ の場合、任意のシート $\Lambda_m$（$m \in \mathbb{Z}$）上に純虚数共鳴は存在しない。
• 非正ポテンシャル $V \leq 0$ および偶数次元 $d \geq 2$ の場合、各シート $\Lambda_m$（$m \neq 0$）上には高々 $N_V < \infty$ 個の純虚数共鳴が存在する。ここで $N_V$ は $-\Delta + V$ の負の固有値の個数である。
• 散乱行列の $m$ 番目のシート $\Lambda_m$ 上の極は、物理的シート $\Lambda_0$ 上で定義されたスカラー関数の零点にちょうど一致する。これにより直接的な対応関係が確立される。
• [27] における恒等式の修正は本質的である：差 $R_0(e^{im\pi}\lambda) - R_0(\lambda)$ は偶数次元では自己共役ではないが、代わりに反自己共役項 $imT(\lambda)$ を含む。
• 偶数次元では $\chi T(i\sigma)\chi$ が自己共役であるため、非負の場合の共鳴の不在を示す上で極めて重要である。
• $V \leq 0$ の場合、$\lambda = e^{i(m\pi + \pi/2)}\sigma$ に純虚数共鳴が存在するならば、$-\sigma^2$ は $-\Delta + V$ の固有値である。これにより共鳴と離散固有値スペクトルが関連づけられる。