[論文レビュー] Some remarks on scaling transition in limit theorems for random fields

Julius Damarackas, Vygantas Paulauskas|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2019

Probability and Risk Models参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ランダムフィールドの極限定理におけるスケーリング遷移現象を調査し、有限分散および無限分散を伴うℤ²およびℤ³上の線形ランダムフィールドにおいて、負の（短距離）自己相関を含む場合にもその現象が生じることを示している。従来の結果を拡張し、長距離自己相関に限らず、特定の短距離自己相関構造に対してもスケーリング遷移が生じることを示しており、この現象をランダムフィールドのランベルティ型極限定理に関連づけている。

ABSTRACT

In the paper we present simple examples of linear random fields defined on $\ZZ^2$ and $\ZZ^3$ which exhibit the scaling transition phenomenon. These examples lead to more general definition of the scaling transition and allow to understand the mechanism of appearance of this phenomenon better. In previous papers devoted to the scaling transition it was proved mainly for random fields with finite variance and long-range dependence. We consider random fields with finite and infinite variance. Our examples show that the scaling transition phenomenon can be observed for linear random fields with the so-called negative dependence, which is part of short-range dependence. Relation of the scaling transition with Lamperti type theorems for random fields is discussed.

研究の動機と目的

• 古典的な長距離自己相関設定を超えたランダムフィールドの極限定理におけるスケーリング遷移現象の調査。
• 無限分散および負の（短距離）自己相関を伴うランダムフィールドへのスケーリング遷移の理解の拡張。
• ℤ²およびℤ³上での線形ランダムフィールドの明示的例を提示し、さまざまな自己相関構造下でのスケーリング遷移の発現を示すこと。
• スケーリング遷移とランダムフィールドのランベルティ型極限定理との関係を明確化すること。
• 観察された例および自己相関構造の性質に基づき、スケーリング遷移の定義を一般化すること。

提案手法

• 特定の減衰および符号パターンを有するフィルタ係数を用いて、ℤ²およびℤ³上での線形ランダムフィールドの明示的例を構築する。
• ℤ²およびℤ³における増加する長方形領域上の部分和の漸近的挙動を分析する。
• 自己相関構造の分析を用いて、自己相関タイプを分類：軸に沿って長距離自己相関、それ以外は短距離自己相関、符号制約による負の自己相関。
• ランベルティ型極限定理を適用して、極限自己相似ランダムフィールドおよびその多次元自己相似インデックスを特徴付ける。
• 座標軸、平面、および全格子上での自己相関の和の正確な式を導出し、全和がゼロとなる条件を特定する。
• 全ℤ³上での自己相関の和がゼロであるのに対し、低次元部分空間上での和は正であることを確認し、方向依存性の効果を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限分散および負の自己相関を伴うランダムフィールドにおいて、スケーリング遷移が生じ得るか？
• RQ2 ℤ³上でのランダムフィールドにおいて、自己相関関数のどのような構造的条件がスケーリング遷移を引き起こすか？
• RQ3 自己相関構造（長距離 vs. 短距離 vs. 負の自己相関）は、正規化された部分和の収束にどのように影響するか？
• RQ4 インデックス集合における無限へ向かうアプローチの方向に、極限分布がどのように依存するか？
• RQ5 全格子上での自己相関の総和が、スケーリング遷移を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• スケーリング遷移は、分散が無限大であり、かつ自己相関が負（短距離）である場合でさえ、ℤ²およびℤ³上での線形ランダムフィールドで観察される。
• 例5では、全ℤ³格子上での自己相関の和がゼロであるのに対し、座標軸および平面での和は正であるため、方向依存性の効果が示唆される。
• 例5（有限分散）では、座標軸上での和は $ V_k = (\sum_{j \neq k} A_j)^2 + \sum_{j \neq k} B_j > 0 $ を満たし、座標平面では $ U_k = A_k^2 + B_k > 0 $ となるため、非退化なスケーリング行動が確認される。
• 全格子上での自己相関の総和 $ \sum_{\mathbb{Z}^3} \rho(n_1,n_2,n_3) = 0 $ が、全体としての長距離自己相関がない状況下でのスケーリング遷移を可能にする重要な条件である。
• スケーリング遷移領域における極限フィールドは、インデックス $ H_1, H_2, H_3 > 0 $ を有する多次元自己相似性を示し、ランベルティ型極限定理と整合的である。
• この現象は長距離自己相関フィールドに限定されるものではなく、自己相関構造に方向的非対称性が現れる場合、短距離自己相関または負の自己相関を持つフィールドに対しても生じ得る。