[論文レビュー] Some remarks on the minimal model program for log canonical pairs

Osamu Fujino|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 42被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、対数正則なペアからの極小的ファノ収縮の像が、ただちに対数正則特異点しか持たないことを確立し、最小モデルプログラムにおける重要なギャップを埋めることを示している。この研究は、対数正則特異点をもつファイブレーションにおけるモジュライ部の非正則性に依拠しており、これらのモジュライ部が半正則であるための条件を提示し、コンパクト・カハラー多様体および非カハラー例における canonical ring への応用を含む。

ABSTRACT

We prove that the target space of an extremal Fano contraction from a log canonical pair has only log canonical singularities. We also treat some related topics, for example, the finite generation of canonical rings for compact Kähler manifolds, and so on. The main ingredient of this paper is the nefness of the moduli parts of lc-trivial fibrations. We also give some observations on the semi-ampleness of the moduli parts of lc-trivial fibrations. For the reader's convenience, we discuss some examples of non-Kähler manifolds, flopping contractions, and so on, in order to clarify our results.

研究の動機と目的

• 対数正則ペアからの極小的ファノ収縮の像が、ただちに対数正則特異点しか持たないことを証明し、文献におけるギャップを埋めること。
• 対数正則特異点をもつファイブレーションにおけるモジュライ部の半正則性を調査し、canonical ring の有限生成性の理解を深めること。
• 非カハラー多様体の解析的一般化および例を提供し、対数正則特異点をもつファイブレーションの幾何的挙動を明確化すること。
• 対数正則特異点をもつファイブレーションにおけるモジュライ部が半正則であるための条件を確立し、canonical ring の有限生成性を支援すること。
• canonical bundle formula およびホッジ論的技法を用いて、モリファイバー空間における像空間の特異点を明確化すること。

提案手法

• ホッジ理論における半正則性定理から導かれる、対数正則特異点をもつファイブレーションにおけるモジュライ部の非正則性を用いる。
• Ambro の定式化および [FG3] における一般化を用いて、$K_X + \Delta \sim_{\mathbb{Q},f} 0$ を満たす対数正則特異点をもつファイブレーションを分析する。
• canonical bundle formula および条件 $f_*\mathcal{O}_X(\lceil -\Delta^{<1} \rceil) \simeq \mathcal{O}_Y$ を用いて、基底上の特異点を制御する。
• 基底 $S$ におけるコhomology的議論を用いて、$\bigoplus_{m \geq 0} \mathcal{O}_X(mD)$ のgraded algebra の有限生成性を分析する。
• 非捩れ線束を含む $\operatorname{Pic}^0(E)$ を用いた反例構成により、モジュライ部が半正則でない場合のフロップの非存在を示す。
• 錐構成および線束の引き戻しを用いて、$X$ における有限生成性を $S$ における有限生成性に、$\widetilde{N}$（$p^*N$ の錐）を介して関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数正則ペアからの極小的ファノ収縮の像は、必ず対数正則特異点しか持たないか？
• RQ2 対数正則特異点をもつファイブレーションにおけるモジュライ部が半正則であるための条件は何か？
• RQ3 対数正則特異点をもつファイブレーションを用いて、コンパクト・カハラー多様体における canonical ring の有限生成性を拡張できるか？
• RQ4 対数正則特異点をもつファイブレーションの基底における特異点に、モジュライ部の非正則性が果たす役割は何か？
• RQ5 log canonicalペアの文脈において、小収縮に対してフロップが存在するのはいつか？また、これは $\operatorname{Pic}^0(E)$ における捩れ性にどのように関係するか？

主な発見

• Q-因子的対数正則ペア $(X,\Delta)$ からの極小的ファノ収縮 $f: (X,\Delta) \to Y$ の像 $Y$ は、ただちに対数正則特異点しか持たない。
• $(X,\Delta)$ のすべての対数正則中心が $Y$ に支配的であるならば、$Y$ はただちに対数端的特異点しか持たない。
• 対数正則特異点をもつファイブレーションにおけるモジュライ部は非正則であり、基底の対数正則性を証明するための鍵となる。
• モジュライ部の半正則性は予想されている（Conjecture 3.9）、かつ、対数正則中心の支配的性を含む条件下で部分的な結果が得られている。
• モジュライ部が $\operatorname{Pic}^0(E)$ 内の非捩れ線束により半正則でない場合、対応するフロップは存在しない。
• 関連する線束が $S$ 上で非捩れである場合、$\bigoplus_{m \geq 0} \mathcal{O}_X(mD)$ の有限生成性は失敗し、非有限生成性の基準が得られる。