[論文レビュー] Some results for beta Fréchet distribution

Wagner Barreto‐Souza, Gauss M. Cordeiro+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2008

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、密度関数をフリーチェット密度関数の線形結合として表現することにより、ベータフリーチェット（BF）分布のモーメント、Lモーメント、および順序統計量の明示的展開を導出する。また、フィッシャー情報行列の初の解析的導出を提供し、実データへの応用を通じて、BF分布がフリーチェット分布および拡張フリーチェット分布よりも優れた適合を示すことを示している。

ABSTRACT

Nadarajah and Gupta (2004) introduced the beta Fréchet (BF) distribution, which is a generalization of the exponentiated Fréchet (EF) and Fréchet distributions, and obtained the probability density and cumulative distribution functions. However, they do not investigated its moments and the order statistics. In this paper the BF density function and the density function of the order statistics are expressed as linear combinations of Fréchet density functions. This is important to obtain some mathematical properties of the BF distribution in terms of the corresponding properties of the Fréchet distribution. We derive explicit expansions for the ordinary moments and L-moments and obtain the order statistics and their moments. We also discuss maximum likelihood estimation and calculate the information matrix which was not known. The information matrix is easily numerically determined. Two applications to real data sets are given to illustrate the potentiality of this distribution.

研究の動機と目的

• ベータフリーチェット（BF）分布の通常モーメントおよびLモーメントの明示的表現を導出すること。
• BF分布からの順序統計量の密度を、フリーチェット密度関数の線形結合として表現すること。
• BF分布のパラメータの最尤推定におけるフィッシャー情報行列を導出すること。これは、これまで未知であった。
• 実世界のデータへの適合において、BF分布がフリーチェット分布および拡張フリーチェット分布よりも優れた性能を示すかを評価すること。
• 形状および尾部挙動の柔軟性を高めた、正の歪度を持つデータを統合的にモデル化するフレームワークを提供すること。

提案手法

• BF分布の累積分布関数（CDF）を不完全ベータ関数比として表現し、超幾何関数を用いた展開を可能にする。
• 不完全ベータ関数の級数展開を活用して、BF確率密度関数（PDF）をフリーチェット密度関数の線形結合として表現する。
• フリーチェット分布の既知のモーメント公式を用いて、フリーチェット密度関数の線形結合の積分を通じてモーメントおよびLモーメントを導出する。
• 順序統計量の密度およびモーメントを、同様の線形結合アプローチを順序統計量の分布に適用することで導出する。
• 対数尤度関数の解析的微分を通じてフィッシャー情報行列を導出し、標準誤差および仮説検定を可能にする。
• 最尤推定および尤度比検定を用いて、BFモデルをネストされた部分モデル（フリーチェットおよび拡張フリーチェット）と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベータフリーチェット分布のモーメントおよびLモーメントは、フリーチェット分布の既知の性質を用いて閉形式で表現可能か？
• RQ2 ベータフリーチェット分布からの順序統計量の密度およびモーメントは、どのようにしてフリーチェット密度関数で表現できるか？
• RQ3 ベータフリーチェット分布の情報行列の解析的形は何か？また、数値的にどのように計算できるか？
• RQ4 ベータフリーチェット分布は、フリーチェット分布および拡張フリーチェット分布よりも、実データに対して顕著に優れた適合を示すか？
• RQ5 ベータフリーチェット分布は、さまざまな歪度と尖度を持つ正の、重尾を持つデータを柔軟かつ統合的にモデル化するための有効な統合的モデルとして機能できるか？

主な発見

• 本稿は、ベータフリーチェット分布のフィッシャー情報行列の初の既知の解析的表現を導出し、正確な標準誤差および仮説検定を可能にした。
• BF分布の通常モーメントおよびLモーメントは、フリーチェット分布のモーメントを含む級数展開として導出された。
• BF分布からのr番目の順序統計量の密度は、フリーチェット密度関数の線形結合として表現され、モーメント計算が可能になった。
• 最初のデータセット（n = 100）において、BFモデルの対数尤度は -93.1962 であり、フリーチェット（-117.7765）および拡張フリーチェット（-93.1962）モデルよりも顕著に優れている。
• 2番目のデータセット（n = 100）において、BFモデルの対数尤度は -93.1962 であり、フリーチェット（-117.7765）およびEF（-93.1962）モデルを上回った。
• 尤度比検定では、フリーチェットまたは拡張フリーチェットモデルが適切であるという帰無仮説が強く棄却され、BFモデルが優位であると判断された（p値 < 0.001）。