[論文レビュー] Some results for the large time behavior of Hamilton-Jacobi Equations with Caputo Time Derivative

Olivier Ley, Erwin Topp+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$α \in (0,1)$ の順序をもつCaputo時間微分を伴うHamilton-Jacobi方程式の解の長時間挙動を、Namah-Roquejoffre枠組みにおいて調査する。時間に依存しない Hölder 連続性の推定を確立することで、長時間収束の解析が可能になる。$Z$（投影されたAubry集合）に幾何的条件が成り立つ場合、$t \to \infty$ のとき解は $Z$ 上での初期データの最小値に収束し、収束速度は $Z$ のボックス次元 $D$ に依存する。

ABSTRACT

We obtain some H\\"older regularity estimates for an Hamilton-Jacobi with fractional time derivative of order $\\alpha \\in (0,1)$ cast by a Caputo derivative. The H\\"older seminorms are independent of time, which allows to investigate the large time behavior of the solutions. We focus on the Namah-Roquejoffre setting whose typical example is the Eikonal equation. Contrary to the classical time derivative case $\\alpha=1$, the convergence of the solution on the so-called projected Aubry set, which is an important step to catch the large time behavior, is not straightforward. Indeed, a function with nonpositive Caputo derivative for all time does not necessarily converge; we provide such a counterexample. However, we establish partial results of convergence under some geometrical assumptions.

研究の動機と目的

• Caputo分数階時間微分 $\partial_t^\alpha$（$\alpha \in (0,1)$）を伴うHamilton-Jacobi方程式の解の長時間挙動を分析すること。
• 古典的 $\alpha=1$ 方程式に一般的に用いられるNamah-Roquejoffre枠組みを、分数階時間微分の設定に拡張すること。
• 時間に依存しない Hölder 連続性の推定を確立し、長時間挙動の解析を可能にすること。
• 解が $t \to \infty$ のとき初期データの最小値に収束するための、投影されたAubry集合 $Z$ における幾何的条件を同定すること。
• 特にEikonalの場合に、$Z$ のボックス次元 $D$ を用いて収束速度を定量的に評価すること。

提案手法

• 特異積分を伴う力率核を用いた、Caputo分数階微分 $\partial_t^\alpha$ の定義により、古典的初期条件と整合性を持つこと。
• 先行研究で確立された非局所的退化楕円型作用素に対する粘性解理論と比較原理の応用。
• 解の時間に依存しない Hölder 半ノルムの推定の導出；長時間挙動解析に不可欠。
• $Z$ の $\epsilon$-近傍内に存在する多角形パス $\gamma_\epsilon$ を構成し、パrameter $D$ を用いたボックスカウント条件を満たすこと。
• 解のエネルギー評価における減衰率を推定するために、Mittag-Leffler関数 $E_\alpha(-At^\alpha)$ の使用。
• ボックスカウント仮定からのパス長の推定と、Mittag-Leffler関数の減衰推定を組み合わせ、収束速度の導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Caputo時間微分 $\partial_t^\alpha$（$\alpha \in (0,1)$）を伴うHamilton-Jacobi方程式の解は、$t \to \infty$ のとき、投影されたAubry集合 $Z$ 上で初期データの最小値に収束するか？
• RQ2 古典的 $\alpha=1$ の場合に用いられる議論が失敗する状況（非正のCaputo微分が収束を保証しないこと）においても、収束を確立できるか？
• RQ3 投影されたAubry集合 $Z$ にどのような幾何的条件が成り立つと、分数階時間微分の設定下で解が $Z$ 上で収束するか？
• RQ4 収束速度は、$Z$ のフラクタル次元 $D$ にどのように依存するか、特にEikonalの場合に注目して。
• RQ5 漸近的挙動は、エラゴニック定数 $c = -\min f$ とエラゴニック方程式 $F(x,Dv) = f(x) + c$ の解 $v$ を含む展開で記述できるか？

主な発見

• 解 $u$ がCaputo分数階Hamilton-Jacobi方程式に従うとき、$Z$ がボックスカウント条件 (4.21) を満たし、$1 \leq D < \frac{3}{2}$ であれば、すべての $x \in Z$ に対して $u(x,t) \to \min_{\mathbb{T}^N} g$ が $t \to \infty$ のとき成り立つ。
• 収束速度は $C t^{\alpha \frac{2D-3}{2D-1}}$ で有界であり、$D < \frac{3}{2}$ のとき $t \to \infty$ でゼロに近づくため、ボックス次元が $3/2$ 未満の集合では収束が成立する。
• 非正のCaputo微分をもつ関数がすべて収束するとは限らない反例を提示。これは古典的 $\alpha=1$ の場合とは顕著な違いを示す。
• Eikonalの場合（$k=1$）には、関連するODEの明示的解が得られ、減衰因子 $\mathcal{E}(t)$ の正確な推定が可能となり、収束速度の導出が可能になる。
• 漸近的挙動は $u(x,t) + c t^\alpha - v(x) \to 0$（$t \to \infty$ のとき一様に）で記述され、ここで $c = -\min f$ であり、$v$ はエラゴニック方程式 $F(x,Dv) = f(x) + c$ の解であり、$Z$ 上で $v = \min g$ を満たす。
• 標準的なNamah-Roquejoffre仮定（$F(x,\cdot)$ の凸性、$p \neq 0$ のとき $F(x,p) > 0$、$f$ の非負性）のもとで、結果は安定である。