[論文レビュー] Some results from algebraic geometry over complete discretely valued fields

Krzysztof Jan Nowak|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、完全な離散的に価値づけられた体の等特徴的ゼロにおける代数幾何学の基礎的結果を、Pasの量化子除去とAx-Kochen-Ershovの転送原理を用いて確立する。主な貢献には、定義可能閉性の射影および吹き替え、半代数的集合における曲線選択、連続的かつ継続的に有理的関数の拡張定理が含まれ、一般化としてHenselian体への転送原理による拡張がなされる。

ABSTRACT

This paper is concerned with algebraic geometry over complete discretely valued fields $K$ of equicharacteristic zero. Several results are given including: the canonical projection $K^{n} imes K\mathbb{P}^{m} \longrightarrow K^{n}$ and blow-ups of the $K$-points of smooth $K$-varieties are definably closed maps, a descent principle, a version of the Lojasiewicz inequality for continuous rational functions, curve selection for semialgebraic sets and the theorem on extending continuous hereditarily rational functions, established for the real field in our joint paper with J. Kollar. Our approach applies the quantifier elimination due to Pas. By the transfer principle of Ax-Kochen-Ershov, all these results carry over to the case of Henselian discretely valued fields. Using different arguments in our subsequent paper, we establish them over Henselian real valued fields of equicharacteristic zero.

研究の動機と目的

• 完全な離散的に価値づけられた体の等特徴的ゼロにおける代数幾何学の基礎的ツールを構築すること。
• 滑らかなK-代数的多様体上のK-点の標準的射影および吹き替えの定義可能閉性を確立すること。
• このような体上での連続的有理関数に対して、Lojasiewiczの不等式のバージョンを証明すること。
• 実体からの連続的かつ継続的に有理的関数に関する結果を、より一般の価値づけられた体へ拡張すること。
• これらの結果をAx-Kochen-Ershovの転送原理を用いてHenselian離散的に価値づけられた体へ一般化すること。

提案手法

• Macintyreの言語におけるPasの量化子除去を活用し、定義可能な集合のモデル理論的解析を可能にする。
• Ax-Kochen-Ershovの転送原理を適用し、剰余体および値群からの結果を完全な離散的に価値づけられた体へ拡張する。
• 定義可能な位相を用いて射影および吹き替えの像を分析し、それが定義的に閉じていることを証明する。
• 定義可能なパラメータ化とモデル理論的コンパクトネスを用いて、半代数的集合のための曲線選択定理を構築する。
• 連続的かつ継続的に有理的関数の挙動を定義可能な集合上で分析し、Lojasiewiczの不等式を用いて拡張定理を確立する。
• 別個の論文で独立した議論を用いて、等特徴的ゼロのHenselian実数値体への結果の拡張を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な離散的に価値づけられた体 $K$ の等特徴的ゼロにおいて、$K^n \times K\bb{P}^m$ から $K^n$ への標準的射影は定義的に閉じているか？
• RQ2 滑らかな $K$-代数的多様体上の $K$-点の吹き替えは、この文脈で定義的に閉じた写像をもたらすか？
• RQ3 このような体上での連続的有理関数に対して、Lojasiewicz型の不等式を定式化し、証明できるか？
• RQ4 完全な離散的に価値づけられた体の等特徴的ゼロの文脈において、半代数的集合に対して曲線選択は成立するか？
• RQ5 半代数的部分集合上で定義された連続的かつ継続的に有理的関数は、より大きな定義域へ連続的に拡張可能か？

主な発見

• 完全な離散的に価値づけられた体 $K$ の等特徴的ゼロにおいて、標準的射影 $K^n \times K\bb{P}^m \to K^n$ は定義的に閉じている。
• 滑らかな $K$-代数的多様体上の $K$-点の吹き替えは、同じ設定において定義的に閉じた写像である。
• 完全な離散的に価値づけられた体の等特徴的ゼロにおいて、連続的有理関数に対してLojasiewicz不等式のバージョンが成り立つ。
• $K$ が完全な離散的に価値づけられた体の等特徴的ゼロであるとき、$K^n$ における半代数的集合に対して曲線選択が成立する。
• このような体上の半代数的集合における連続的かつ継続的に有理的関数は、より大きな半代数的定義域へ連続的に拡張可能である。
• すべての結果は、Ax-Kochen-Ershovの転送原理を介してHenselian離散的に価値づけられた体へ拡張可能であり、さらに等特徴的ゼロのHenselian実数値体に対しても別個の議論により独立して確立されている。