[論文レビュー] Some results of geometry over Henselian fields with analytic structure

Krzysztof Jan Nowak|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、解析的構造を備えたヘンゼル的付値体上の幾何学における基礎的結果を確立し、従来の代数的結果を解析的設定へと拡張する。定義可能写像の閉性定理を証明し、量化子除去、b-最小性、細胞分解を活用することで、区分的連続性、ホルダー連続性、ロジャシエヴィッチ不等式、定義可能集合に対する曲線選択といった主要な解析的性質を導出する。これにより、特異点の解消や正則交叉除数への変換が、局所的にコンパクトな体と類似した方法で可能となる。

ABSTRACT

The paper deals with Henselian valued field with analytic structure. Actually, we are focused on separated analytic structures, but the results remain valid for strictly convergent analytic ones as well. A classical example of the latter is a complete rank one valued fields with the Tate algebra of strictly convergent power series. The algebraic case was treated in our previous papers. Here we are going to carry over the research to the general analytic settings. Also considered are the local rings of analytic function germs induced by a given separated Weierstrass system, which turn out to be excellent and regular. Several results are established as, for instance, piecewise continuity of definable functions, several versions of the Łojasiewicz inequality, Hölder continuity of definable functions continuous on closed bounded subsets of the affine space and curve selection for definable sets. Likewise as before, at the center of our approach is the closedness theorem to the effect that every projection with closed bounded fiber is a definably closed map. It enables application of resolution of singularities and of transformation to a normal crossing by blowing up (here applied to the local rings of analytic function germs) in much the same way as over locally compact ground fields. We rely on elimination of valued field quantifiers, term structure of definable functions and b-minimal cell decomposition, due to Cluckers--Lipshitz--Robinson, as well as on relative quantifier elimination for ordered abelian groups, due to Cluckers--Halupczok. Besides, other two ingredients of the proof of the closedness theorem are existence of the limit (after finite partitioning of the domain) for a definable function of one variable and fiber shrinking, being a relaxed version of curve selection.

研究の動機と目的

• Henselian付値体の等特徴零の解析的設定において、代数的結果を解析的設定へと拡張すること。
• 定義可能集合および関数に対する、連続性、ロジャシエヴィッチ不等式、曲線選択といった基礎的解析的性質を確立すること。
• 定義可能写像の閉性定理（閉かつ有界なファイバーをもつもの）を証明し、特異点の解消および正則交叉除数への変換を可能とすること。
• 分離されたワイエルシュトラス系によって誘導される解析的関数の芽の局所環が、優れており正則であることを示すこと。
• 最近の研究が示唆するように、非アーベル型ティエッテ・ウリゾン拡張定理を解析的設定へと拡張すること。

提案手法

• 付値体の量化子の除去および順序付加群に対する相対的量化子除去に依拠し、定義可能集合および関数を分析する。
• 定義可能関数の中心および項構造を用いたb-最小的細胞分解を適用し、関数の局所的挙動を制御する。
• 閉性定理の証明における主要な技術的道具として、曲線選択の緩和形であるファイバー収縮を用いる。
• 局所的にコンパクトな場合の技術を一般化し、吹き上げを用いて正則交叉除数への変換を適用する。
• 閉性定理を中心的な道具として用い、定義可能関数の連続性および正則性に関する結果を導出する。
• 値関数および角成分写像を用いて複雑な定義可能集合をより単純な形に還元し、帰納的議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離された解析的構造を備えたHenselian体上において、定義可能写像の閉性定理は代数的設定から解析的設定へと拡張可能か？
• RQ2 このような体上のアフィン空間の閉有界部分集合上で連続な定義可能関数は、ホルダー連続性を満たすか？
• RQ3 解析的設定においてロジャシエヴィッチ型不等式を確立できるか。また、その結果、連続性に与える影響は何か？
• RQ4 Henselian体に解析的構造を備えた場合、定義可能集合に対して曲線選択は成立するか。また、ファイバー収縮とはどのように関係するか？
• RQ5 ワイエルシュトラス系によって誘導される解析的関数の芽の局所環は、解析的設定においても優れており正則のままであるか？

主な発見

• 定義可能写像の閉性定理は、定義可能集合と付値環の直積から定義可能集合への写像に対し成り立つ。これにより、K位相における閉定義可能部分集合の像が閉じていることが保証される。
• 閉有界部分集合上で連続な定義可能関数は、$K^n$ 上でホルダー連続である。これは、代数的状況での既知の結果を一般化する。
• ロジャシエヴィッチ不等式の複数のバージョンが確立され、定義可能関数が原点付近でどのように減衰するかを定量的に制御する。
• 曲線選択が定義可能集合に対して成立する。すなわち、定義可能集合 $A$ とその閉包に属する点 $a$ が与えられたとき、$A$ 内の定義可能曲線で $a$ に近づくものが存在する。
• 分離されたワイエルシュトラス系によって誘導される解析的関数の芽の局所環は、優れており正則である。これは、既知の代数的結果を解析的設定へと拡張する。
• 閉性定理により、特異点の解消および吹き上げによる正則交叉除数への変換が可能となり、局所的にコンパクトな体で用いられる手法と類似した方法が得られる。