[論文レビュー] Some results on (a:b)-choosability

Shai Gutner, Michael Tarsi|ArXiv.org|Feb 10, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、(a:b)-choosability が c/d > a/b であっても (c:d)-choosability を必ずしも含まないことを示し、選択比における非単調性を実証することで、グラフのchoosabilityに関する長年の未解決問題を解決した。確率的上界をk番目の選択数に導出し、最大出次数dの奇サイクルを含まない有向グラフが (k(d+1):k)-choosable であることを証明した。さらに、特定のグラフ族における強彩色数とリスト彩色予想の一般化も行った。

ABSTRACT

A solution to a problem of Erdős, Rubin and Taylor is obtained by showing that if a graph $G$ is $(a:b)$-choosable, and $c/d > a/b$, then $G$ is not necessarily $(c:d)$-choosable. Applying probabilistic methods, an upper bound for the $k^{th}$ choice number of a graph is given. We also prove that a directed graph with maximum outdegree $d$ and no odd directed cycle is $(k(d+1):k)$-choosable for every $k \geq 1$. Other results presented in this article are related to the strong choice number of graphs (a generalization of the strong chromatic number). We conclude with complexity analysis of some decision problems related to graph choosability.

研究の動機と目的

• Erdős, Rubin, and Taylor が提起した、(a:b)-choosability が比 a/b に関して単調であるかどうかという予想を解決すること。
• 確率的手法を用いて、ch_k(G) の上界を確立すること。
• 二部グラフ、平面グラフ、弦的グラフなどの特定のグラフクラスにおける強彩色数およびリスト彩色予想の結果を一般化すること。
• グラフchoosability関連の意思決定問題の複雑性を分析し、特定の向き付けに対して多項式時間アルゴリズムを提供すること。
• 無閉路向きや部分グラフ密度といった構造的性質を用いて、(a:b)-choosableなグラフを特徴付けること。

提案手法

• 完全r部グラフ K_{m₁,…,mᵣ} に対して、確率的補題を用いて ch_k(G) ≤ 948r(k + log((m₁+⋯+mᵣ)/r)) という上界を導出する。
• 補題7.2を用いた帰納法と集合分割により、集合族を互いに素な彩色可能部分集合に分解し、衝突のない割り当てを保証する。
• 向き付けに基づく結果を活用：あるグラフが最大出次数dの無閉路向き付けを持つならば、それは (k(d+1):k)-choosable である。
• 極値的構成を用いて強彩色数 sχ(d) の下界を証明し、sχ(2r) ≥ 4r および sχ(2r+1) ≥ 4r+2 を示す。
• 部分グラフ H に対して M(G) = max(|E(H)|/|V(H)|) を用い、二部グラフおよび平面グラフに対するchoosabilityの境界を導出する。
• Galvin らのリスト彩色予想に関する結果を応用し、G が長さ4以上のサイクルを含まない場合に ch(L(G)) = χ(L(G)) が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 c/d > a/b であっても、(a:b)-choosable なグラフGが (c:d)-choosable であるとは限らないか？（答え：いいえ。）
• RQ2 k → ∞ のとき、ch_k(G) の漸近的挙動は？（答え：十分大きなkに対して ch_k(G) ≤ k(χ(G) + ε)。）
• RQ3 完全r部グラフのk番目の選択数は、rと平均頂点クラスサイズの関数として上界で抑えられるか？
• RQ4 グラフの向き付けに関するどのような構造的条件が、(k(d+1):k)-choosability を保証するか？
• RQ5 2連結成分が三角形またはそれ以下のサイクルであるグラフについて、リスト彩色予想は成り立つか？

主な発見

• Erdős-Rubin-Taylorの問題に対して否定的解答が与えられた：G が (a:b)-choosable であっても、c/d > a/b であっても G が (c:d)-choosable であるとは限らない。
• 任意の ε > 0 に対して、ある k₀ が存在し、すべての k ≥ k₀ に対して ch_k(G) ≤ k(χ(G) + ε) が成り立つ。これはkに関する漸近的線形性を示す。
• 上界が確立された：r ≥ 1 かつ mᵢ ≥ 2 のとき、ch_k(K_{m₁,…,mᵣ}) ≤ 948r(k + log((m₁+⋯+mᵣ)/r)) が成り立つ。
• 任意のグラフGに対して、ch_k(G) ≤ 948χ(G)(k + log(|V|/χ(G) + 1)) が成り立ち、従来の境界を一般化する。
• ランダムグラフ G_{n,p} は、n → ∞ のとき、高確率で ch_k(G_{n,p}) ≤ 475 log(1/(1−p)) n (log log n)/log n を満たす。
• 奇サイクルを含まない有向グラフで、最大出次数dのものについて、すべての k ≥ 1 に対して (k(d+1):k)-choosable であり、多項式時間での構成が可能である。