[論文レビュー] Some results on inhomogeneous discriminants

María Angélica Cueto, Alicia Dickenstein|ArXiv.org|Oct 1, 2006

Polynomial and algebraic computation参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、最大小行列式の最大公約数が任意の整数である整数行列に対する非斉次スパース判別式の一般化されたホーン＝カプラノフ有理パラメータ化を研究する。すべてのこのようなパラメータ化が双有理的であることを証明し、非飽和格子とその飽和格子の判別式の間の明確な関係を確立し、均一な（余）次元3の場合の判別式の次数を計算する組合せ的アルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

We study generalized Horn-Kapranov rational parametrizations of inhomogeneous sparse discriminants from both a theoretical and an algorithmic perspective. We show that all these parametrizations are birational and prove some results on the corresponding implicit equations. We also propose a combinatorial algorithm to compute the degree of inhomogeneous discriminantal surfaces associated to uniform matrices.

研究の動機と目的

• 有理ホーン＝カプラノフパラメータ化から生じる一般化された非斉次判別式の幾何的・代数的性質を調査すること。
• 最大小行列式の最大公約数が任意の値である整数行列によって定義されるパラメータ化の双有理性を解明し、カプラノフの結果をユニモジュラーの場合を超えて拡張すること。
• 非飽和格子の判別式とその飽和格子の判別式との間の明確な代数的関係を確立すること。
• 均一な（余）次元3の場合の判別式の次数を計算する組合せ的アルゴリズムを開発すること。
• 正規化体積による凸包の補集合を用いて、原点におけるアンミクストスパース多項式系の局所的重複度を計算するために結果を応用すること。

提案手法

• 行列 $ B $ がガル・双対行列であるとき、$ y_j = \prod_{i=1}^n (b_{i1}u_1 + \cdots + b_{im}u_m)^{b_{ij}} $（$ j=1,\dots,m $）の形のホーン＝カプラノフ有理パラメータ化を用いる。
• パラメータ化が正則で非退化な整数行列 $ C $ によって生じる場合、かつその場合に限り、対数的ガウス写像が双有理的であることを証明し、カプラノフの結果を一般化する。
• 非飽和格子 $ \mathbb{Z}C $ に関連する一般化された非斉次判別式 $ \Delta_C $ を、$ \mathbb{Z}C $ の飽和の $ \mathbb{Z} $-基底である行列 $ B $ を用いて $ \Delta_B $ と関連付ける。
• アルゴリズム4.1を用いて、線形座標変換によりモナミアルイデアルに変換することで、基点におけるイデアルの局所的重複度を計算する。
• ケイリーのトリックを用いて混合スパース結果式をスパース判別式に還元し、結果を古典的超幾何関数系と関連付ける。
• ベルンシュタインの定理と正規化体積の計算を用いて、次元0のイデアルの重複度と第一象限における凸包の補集合の体積との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非斉次判別式のホーン＝カプラノフパラメータ化がいつ双有理的となるか。
• RQ2 非飽和格子 $ \mathbb{Z}C $ に関連する判別式 $ \Delta_C $ とその飽和の判別式 $ \Delta_B $ の関係は何か。
• RQ3 均一な（余）次元3の場合に、非斉次判別式の次数を組合せ的に計算できるか。
• RQ4 原点における一般のアンミクストスパース系の局所的重複度の幾何的意味は何か。
• RQ5 基点における局所的イデアルを常に線形座標変換によってモナミアルイデアルに変換できるか。

主な発見

• 最大公約数 $ g_C \neq 0 $ を持つ正則で非退化な整数行列 $ C $ によって定義される非斉次判別式のすべてのホーン＝カプラノフパラメータ化は双有理的である。
• 一般化された非斉次判別式 $ \Delta_C $ は、モナミアル変換を通じて飽和判別式 $ \Delta_B $ と関連づけられ、その係数とモナミアルの個数はスケーリングを除いて保存される。
• 均一な（余）次元3の場合の判別式の次数を計算する組合せ的アルゴリズムが提供され、例として次数18の判別式が示される。
• 一般のアンミクストスパース系の原点における局所的重複度は、第一象限におけるシフトされた指数集合の凸包の補集合の正規化体積に等しい。
• 基点における局所的イデアルは、線形座標変換によってモナミアルイデアルに変換できる場合もあれば、そうでない場合もあり、このような変換の一般パターンは存在しない。
• 補題4.8の結果により、純粋なべき乗モナミアルを持つ系の原点における重複度が、$ \mathcal{K}_A $、すなわち $ \{\alpha_i + \mathbb{R}_{\geq 0}^d\} $ の凸包の補集合の正規化体積によって与えられることが確認される。