[論文レビュー] Some Results on the Functional Decomposition of Polynomials

Mark Giesbrecht|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 23被引用数 12

ひとこと要約

本学位論文は、特徴が p の体上での単変数および多変数多項式および有理関数の関数的分解を調査し、外側関数の次数が p で割り切れる「ワイルド」の場合に焦点を当てる。加法的多項式（極端なワイルド行動を示すもの）に対して多項式時間アルゴリズムを提供し、有理関数の分解に対しては指数時間の解法を確立する。主な結果として、分解の個数とワイルドケースにおけるアルゴリズム的複雑さに関する新たな知見が得られている。

ABSTRACT

If g and h are functions over some field, we can consider their composition f = g(h). The inverse problem is decomposition: given f, determine the ex- istence of such functions g and h. In this thesis we consider functional decom- positions of univariate and multivariate polynomials, and rational functions over a field F of characteristic p. In the polynomial case, "wild" behaviour occurs in both the mathematical and computational theory of the problem if p divides the degree of g. We consider the wild case in some depth, and deal with those polynomials whose decompositions are in some sense the "wildest": the additive polynomials. We determine the maximum number of decompositions and show some polynomial time algorithms for certain classes of polynomials with wild decompositions. For the rational function case we present a definition of the problem, a normalised version of the problem to which the general problem reduces, and an exponential time solution to the normal problem.

研究の動機と目的

• 特徴が p の体上での多項式および有理関数の関数的分解を分析すること、特に外側関数の次数が p で割り切れる「ワイルド」の場合に注目すること。
• 加法的多項式（ワイルド行動の極限形を表すもの）の構造と分解の個数を理解すること。
• 加法的多項式および有理関数の分解に効率的なアルゴリズムを開発すること、特にタウムおよびワイルドの両ケースに焦点を当てる。
• 有理関数分解の正規形を確立し、一般問題をこの標準形に還元すること。
• 分解の計算複雑性を調査すること、特に分割体の次数の下界および分解の個数に関する考察を含む。

提案手法

• 部分体 F(x)、分離可能多項式、ブロック分解といった代数的構造を用いて多項式分解を分析する。
• f(x) = a_1x^p + a_2x^{p^2} + ... で定義される加法的多項式の理論を応用し、ワイルド分解行動を研究する。
• 一般ケースをこの形式に還元する変換補題を用いて、正規化された有理関数分解問題を導入する。
• 特にタウムおよび完全可約の場合に、因数分解および根の探索技術に基づく多項式時間アルゴリズムを用いて加法的多項式の分解を実行する。
• 加法的多項式環におけるユークリッドスキームを用いて分解構造および変換を分析する。
• 体演算および複雑性解析（O(n log n M(n))）を用いてアルゴリズムコストを評価し、特に有理関数分解において有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワイルドケース、特に加法的多項式において、多項式がもつ関数的分解の最大個数は何か？
• RQ2 加法的多項式の分解に、ワイルドケースでさえも多項式時間アルゴリズムを構築できるか？
• RQ3 一般の有理関数分解問題を、アルゴリズム的解法に適した正規化形式に還元する方法は何か？
• RQ4 有理関数の分解の計算複雑性は何か？多項式時間で解けるか？
• RQ5 特定の多項式クラスに対して、分解の個数に指数的下界が存在するか？加法的多項式はこの現象をどのように例示するか？

主な発見

• 多項式の完全な有理正規分解の個数は、その次数および体の特徴に関する関数で有界であり、明示的な構成が提示されている。
• 加法的多項式に対しては、完全分解を計算する多項式時間アルゴリズムが存在し、そのような分解の個数は準多項式関数で有界である。
• 一般の有理関数分解問題は、O(2^{2n} n log n M(n)) の体演算で解ける正規化形式に還元可能である。
• 分解のための分割体の次数に対する下界が確立され、ワイルドケースでは多項式を上回る成長が示された。
• 類似性のない加法的多項式の二重分解問題は多項式時間で解けることが示され、特定の構造的ワイルドケースの扱いやすさが裏付けられた。
• 本稿では、有限体のような良好な体ですら、絶対的分解が指数的次数の拡大体を必要とすることが示され、問題の本質的複雑性が示された。