[論文レビュー] Some results on the reduced power graph of a group

R. Rajkumar, T. Anitha|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限群およびねじれ群における縮小されたべき乗グラフとその適切な変種について調査し、クリーク数、彩色数、周長、連結性、直径、成分構造などの構造的性質を特徴づける。主な結果として、有限群の縮小されたべき乗グラフは完璧であり、適切な縮小されたべき乗グラフの成分数と直径は、群の最大の素数位の巡回部分群とシローパーツに完全に依存している。

ABSTRACT

The reduced power graph $\mathcal{RP}(G)$ of a group $G$ is the graph with vertex set $G$ and two vertices $u$ and $v$ are adjacent if and only if $\left\langle v ight angle \subset \left\langle u ight angle $ or $\left\langle u ight angle \subset \left\langle v ight angle $. The proper reduced power graph $\mathcal{RP}^*(G)$ of $G$ is the subgraph of $\mathcal{RP}(G)$ induced on $G\setminus \{e\}$. In this paper, we classify the finite groups whose reduced power graph (resp. proper reduced power graph) is one of complete $k$-partite, acyclic, triangle free or claw-free (resp. complete $k$-partite, acyclic, triangle free, claw-free, star or tree). In addition, we obtain the clique number and the chromatic number of $\mathcal{RP}(G)$ and $\mathcal{RP}^*(G)$ for any torsion group $G$. Also, for a finite group $G$, we determine the girth of $\mathcal{RP}^*(G)$. Further, we discuss the cut vertices, cut edges and perfectness of these graphs. Then we investigate the connectivity, the independence number and the Hamiltonicity of the reduced power graph (resp. proper reduced power graph) of some class of groups. Finally, we determine the number of components and the diameter of $\mathcal{RP}^*(G)$ for any finite group $G$.

研究の動機と目的

• 縮小されたべき乗グラフまたは適切な縮小されたべき乗グラフが完全k部グラフ、無閉路、三角形を含まない、またはクマノミ自由となるような有限群を分類すること。
• 任意のねじれ群の縮小されたべき乗グラフのクリーク数と彩色数を特定すること。
• 特定の群のクラスについて、これらのグラフの周長、連結性、独立数、ハミルトン性を分析すること。
• 任意の有限群について、適切な縮小されたべき乗グラフの成分数と直径を確立すること。
• 有限群の縮小されたべき乗グラフの切断頂点、切断辺、および完璧性を調査すること。

提案手法

• 本稿では、群Gの縮小されたべき乗グラフを、その巡回部分群が包含関係にある、すなわち⟨u⟩ ⊆ ⟨v⟩ または ⟨v⟩ ⊆ ⟨u⟩ であるような要素間の辺を持つものとして定義する。
• 適切な縮小されたべき乗グラフは、単位元を除いたG\{e}上の誘導部分グラフとして定義される。
• クリーク数と彩色数は、ねじれ群における巡回部分群の構造と要素の位数に基づいて導出される。
• RP*(G)の成分数は、c(P*(G)) + ∑ₚ|G mₚ(p−2) として計算され、ここでmₚは位数pの最大巡回部分群の数を表す。
• RP(G)の直径は、G ≅ ℤ₂のとき1、それ以外のときは2であることが示され、これは単位元が他のすべての頂点と隣接しているためである。RP*(G)の直径は、G ≅ ℤₚⁿ かつn ≥ 2のとき2、G ≅ ℤₚ（素数位）のときは∞、それ以外の場合はdiam(P*(G))に等しい。
• グラフ論的性質として、無閉路性、クマノミ自由性、完璧性は、部分群ラティスと巡回部分群の包含関係を用いて分析される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限群について、縮小されたべき乗グラフが完全k部グラフ、無閉路、三角形を含まない、またはクマノミ自由となるか？
• RQ2 任意のねじれ群の縮小されたべき乗グラフのクリーク数と彩色数は何か？
• RQ3 有限群の適切な縮小されたべき乗グラフの周長は何か？
• RQ4 有限群の適切な縮小されたべき乗グラフには何個の成分があり、直径は何か？
• RQ5 適切な縮小されたべき乗グラフが連結であるのはいつか、また無限の直径を持つ非連結であるのはいつか？

主な発見

• 有限群Gの適切な縮小されたべき乗グラフは、c(RP*(G)) = c(P*(G)) + ∑ₚ|G mₚ(p−2) 個の成分を持つ。ここでmₚは位数pの最大巡回部分群の数である。
• RP(G)の直径は、G ≅ ℤ₂のとき1、それ以外のときは2である。これは単位元が他のすべての頂点と隣接しているためである。
• RP*(G)の直径は、G ≅ ℤₚⁿ かつn ≥ 2のとき2、G ≅ ℤₚ（素数位）のときは∞、それ以外の場合はdiam(P*(G))に等しい。
• 任意の有限群の縮小されたべき乗グラフは完璧であり、サイクルではない。RP(G)とRP*(G)がともにクマノミ自由かつ無閉路であるのは、特定の群構造のもとでのみ成立する。
• 有限群において、RP*(G)はGがべき零群であり、巡回または一般化された四元数型のシローパーツを持ち、かつG ≇ ℤₚであるときに限り連結である。
• 位数nの群の縮小されたべき乗グラフのうち、クリーク数と彩色数が最大になるのはℤₙであり、適切な縮小されたべき乗グラフではℤₙ*が最大値を達成する。