[論文レビュー] Some results on zeros distributions and uniqueness of derivatives of difference polynomials

Kai Liu, Xinling Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2011

Meromorphic and Entire Functions参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、整関数およびメラモーフィック関数の差分多項式の微分の零点分布および一意性に関する新たな結果を確立する。ハイマン型の予想を離散的設定に拡張することで、特定の位数および次数の条件下で、$[P(f)f(z+c)]^{(k)} - a(z)$ のような差分多項式の微分が無限個の零点を持つことを証明した。また、値共有条件のもとで、このような多項式を共有する整関数は乗法的定数によって関連している。これらの結果は、差分多項式および値分布論に関する先行研究を改善する。

ABSTRACT

We consider the zeros distributions on the derivatives of difference polynomials of meromorphic functions, and present some results which can be seen as the discrete analogues of Hayman conjecture \cite{hayman1}, also partly answer the question given in \cite[P448]{luolin}. We also investigate the uniqueness problems of difference-differential polynomials of entire functions sharing one common value. These theorems improve the results of Luo and Lin\cite{luolin} and some results of present authors \cite{liuliucao}.

研究の動機と目的

• 特徴的位数が1未塔である超越整関数に対して、差分多項式の微分の零点分布を調査すること。
• シフトおよび差分を含む離散的設定に、ハイマン予想および関連結果を拡張すること。
• 共通の値を共有する差分微分多項式に関する一意性問題を解決し、以前の値共有定理に関する結果を改善すること。
• このような多項式が無限個の零点を持つ、または関数間の関数的関係を強制するような次数および位数に関する鋭い条件を特定すること。
• メラモーフィック関数およびより一般的な差分構造に関する一意性定理の有効性に関する未解決の問題に取り組むこと。

提案手法

• メラモーフィック関数および整関数の成長および値分布を分析するために、ネヴァンリンナ理論および小関数技術を用いる。
• 零点および極の数関数を推定するために、ネヴァンリンナ理論の第二主要定理および近接関数を適用する。
• 成長を制御し、仮定のもとで矛盾を導くために、特徴関数 $ T(r,f) $ および小関数誤差項 $ S(r,f) $ を用いる。
• 条件が満たされない場合の反例を構成するために、ワイマン＝バリロン理論および漸近解析を用いる。例えば $ f(z) = e^{e^z} $ のような場合。
• 対数導関数の補題および共有値（CMおよびIM）の概念を用いて、差分多項式の微分の一意性を分析する。
• ワイアスキー像の類似表現 $ H $ のカソラーティ＝ヴァイエルシュトラス型の振る舞いを分析することで、関数間の関数的関係を導出し、$ F = G $ または $ F \times G = 1 $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超越整関数 $ f $ に対して $ \rho_2(f) < 1 $ が成り立つとき、差分多項式 $[P(f)f(z+c)]^{(k)} - a(z)$ の微分が無限個の零点を持つための条件は何か？
• RQ2 定理1.1における条件 $ n \geq t(k+1)+1 $ は、メラモーフィック関数に一般化可能か、またそれが鋭いかどうか？
• RQ3 差分微分多項式が値をCMまたはIMで共有する場合に、$ f $ と $ g $ の一意性が保証される最小の次数条件 $ n $ は何か？
• RQ4 零点分布に関する結果において $ \rho_2(f) < 1 $ は必要不可欠か？ $ \rho_2(f) = 1 $ の場合はどうなるか？
• RQ5 値 $ t^{m} = t^{n+1} = 1 $ を満たす $ f = tg $ の一意性結果は、$ \Delta_c f $ を含む場合に拡張可能か？その障害は何か？

主な発見

• 超越整関数 $ f $ に対して $ \rho_2(f) < 1 $ が成り立つとき、$ n \geq t(k+1)+1 $ ならば、$[P(f)f(z+c)]^{(k)} - a(z)$ は無限個の零点を持つ。ここで $ t $ は $ P(z) $ の相異なる零点の数である。
• 条件 $ n \geq t(k+1)+1 $ は鋭い。$ n < t(k+1)+1 $ の場合に反例が存在する。例えば $ f(z) = e^z + 1 $、$ e^c = -1 $ のとき、$ n = t = 1 $ ならば零点が存在しない。
• $[f^n (\Delta_c f)^s]^{(k)} - a(z)$ に対して、$ n \geq (t+1)(k+1)+1 $ かつ $ f $ が $ c $-周期的でないならば、微分は無限個の零点を持つ。
• $ f $ と $ g $ が整関数であり、値1をCMで共有するとき、差分微分多項式 $[f^n(f^m-1)f(z+c)]^{(k)}$ と $[g^n(g^m-1)g(z+c)]^{(k)}$ が1をCMで共有するならば、$ n \geq 2k + m + 6 $ ならば $ f = tg $ かつ $ t^{m} = t^{n+1} = 1 $ が成り立つ。
• より一般的な $ \Delta_c f $ を含む場合、$ n \geq 5k + 4m + 12 $ ならば、差分微分多項式の微分が1をCMで共有する限り、$ f = tg $ かつ $ t^{m} = t^{n+1} = 1 $ が成り立つ。
• 結果は鋭い。条件が満たされない場合に反例が存在する。例えば $ f(z) = e^{e^z} $ では $ \rho_2(f) = 1 $ であり、微分多項式が非ゼロ定数となり、有限個の零点しか持たない。