[論文レビュー] Some Results Related to Soft Topological Spaces

E. Peyghan, Babak Samadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2014

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ソフトコンパクト性および可算的ソフトコンパクト性を導入・分析することで、ソフト位相空間を考察し、古典的一般位相の結果に挑戦する。古典的位相とは異なり、コンパクトハウスドルフソフト位相空間が正規でないことがあることを、反例を構成することで示し、ソフト正則性および正規性に関する既存の定理を反証する。

ABSTRACT

The notion of soft sets is introduced as a general mathematical tool for dealing with uncertainty. In this paper, we consider the concepts of soft compactness, countably soft compactness and obtain some results. We study some soft separation axioms that have been studied by Min and Shabir-Naz. By constructing a special soft topological space, show that some classical results in general topology are not true about soft topological spaces, for instance every compact Housdorff spaces need not be normal.

研究の動機と目的

• ソフト位相空間におけるソフトコンパクト性および可算的ソフトコンパクト性の概念を調査すること。
• ミンおよびシャビール＝ナズが定義したソフト正則性およびソフト正規性を含む、ソフト分離公理を検討すること。
• ソフト分離公理に関する以前に発表された定理における誤りを特定・是正すること。
• 古典的一般位相の結果（例えば、任意のコンパクトハウスドルフ空間は正規である）が、ソフト位相空間では成り立たないことを示すこと。
• ソフト$T_4$-空間が必ずしもソフト$T_3$-空間でないことを示す反例を構成すること。また、ソフト正則性の定理が失敗することを示すこと。

提案手法

• 宇宙$X$とパラメータ集合$E$を用いたソフト集合を導入し、相対的補集合を用いてソフト開集合およびソフト閉集合を定義する。
• $X$上のソフトトポロジー$\tau$を、標準的な位相的公理を満たすソフト集合の族として定義する：$\Phi_E$および$\widetilde{X}$を含み、任意の和集合および有限個の積集合について閉じている。
• ソフト開被覆を用いてソフトコンパクト性を定義する：ソフト空間がソフトコンパクトであるとは、任意のソフト開被覆が有限部分被覆をもつことである。
• ソフト閉包およびソフト内部の概念を用いて、互いに交わらないソフト開集合を含む条件を用いて、ソフト正則およびソフト正規空間を定義する。
• 特定の反例空間（$X = \{h\}$、$E = \{e_1, \dots, e_5\}$、有限ソフトトポロジー$\tau$）を用いて、分離性をテストする。
• 条件$(x,E) \cap (G,E) = \phi_E$がソフト正則性に不十分であることを確認することで、主要定理の失敗を分析する。代わりに$(x,E) \not\subseteq (G,E)$が必要である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のコンパクトハウスドルフソフト位相空間は、依然として正規であるか？
• RQ2 先行文献（例：[10]）で提示されたソフト正則性およびソフト正規性に関する定理は、一般のソフト位相空間においても成立するか？
• RQ3 ソフト$T_4$-空間がソフト$T_3$-空間でないことがあるか？
• RQ4 ソフト位相において、条件$(x,E) \cap (G,E) = \phi_E$は$x \notin (G,E)$と同値であるか？
• RQ5 『コンパクトハウスドルフならば正規』という古典的結果は、ソフト位相空間においても成り立つか？

主な発見

• 例4.9で構成されたソフト位相空間は、ソフトコンパクトではあるがソフト正規でない。これは、コンパクトハウスドルフソフト位相空間が正規でないことがあることを示している。
• 例4.4のソフト空間はソフト$T_4$-空間ではあるがソフト$T_3$-空間でない。これは[10]で主張された定理を反証する。
• [10]の定理3.17は誤りである。条件$(x,E) \cap (G,E) = \phi_E$は$x \notin (G,E)$を示さないため、ソフト正則性を定義するのに使用できない。
• 条件$(x,E) \cap (G,E) = \phi_E$は$(x,E) \not\subseteq (G,E)$と同値ではない。これは、ソフト正則性に関する既存の定理の根拠となる仮定を無効にしている。
• [10]の定理3.25は無効である。すべての単一集合ソフト集合が閉じているソフト正規空間が、必ずしもソフト$T_3$-空間ではない。
• 本論文は、ソフト正則性の必要条件として、$(x,E) \cap (G,E) = \phi_E$を$(x,E) \not\subseteq (G,E)$に置き換えることで、以前の誤りを是正している。