[論文レビュー] Some Schubert shenanigans

Richard P. Stanley|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

Musicology and Musical Analysis参考文献 6被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、対称群 $S_n$ の弱順序に関連する、シューベルト多項式の特殊化 $\nu_w = \frak{S}_w(1,\dots,1)$ の行列 $\tilde{D}(n,k)$ の行列式の推測評価を提案し、$W_n$ が強いスパーナー性質を有することを示す。この推測は、小さい $n$ および $k$ に対して検証されており、行列式が非ゼロであれば $W_n$ が強いスパーナー性質を有することを示唆する。本稿では $k=1$ の場合の証明を行い、小さいおよび最大値における $\nu_w$ の性質を調査している。

ABSTRACT

We give a conjectured evaluation of the determinant of a certain matrix $ ilde{D}(n,k)$. The entries of $ ilde{D}(n,k)$ are either 0 or specializations $\mathfrak{S}_w(1,\dots,1)$ of Schubert polynomials. The conjecture implies that the weak order of the symmetric group $S_n$ has the strong Sperner property. A number of peripheral results and problems are also discussed.

研究の動機と目的

• 行列 $\tilde{D}(n,k)$ の閉形式評価の推測を提示する。ここで $\tilde{D}(n,k)$ はシューベルト多項式の特殊化 $\nu_w = \frak{S}_w(1,\dots,1)$ から構成され、$S_n$ の弱順序に関連する。
• すべての $k < \frac{1}{2}\binom{n}{2}$ に対して $\text{det} \tilde{D}(n,k) \neq 0$ ならば、弱順序 $W_n$ が強いスパーナー性質を有することを確立する。
• $\nu_w = \frak{S}_w(1,\dots,1)$ の構造と値を調査する。特に $\nu_w = 2$ のような小さい値について、およびそのような値をとる置換の特徴を明らかにする。
• $w \in S_n$ における $u(n) = \max_w \nu_w$ の最大値を研究し、$n \to \infty$ のとき、そのような最大値をとる置換が極限形状を示すかどうかを検討する。

提案手法

• 行列 $\tilde{D}(n,k)$ を、弱順序において $u \leq v$ のとき $\nu_{vu^{-1}}$ を成分とし、それ以外は 0 とする $D(n,k)$ の正規化版として定義する。
• $U(u) = \sum_{i: \ell(us_i)=\ell(u)+1} i \cdot us_i$ で定義される、有理数ベクトル空間 $\mathbb{Q}W_n$ 上の順序上昇作用素 $U$ を用い、$U$ のべき乗によって行列 $D(n,k)$ を生成する。
• $U^j(u) = \left(\binom{n}{2}-2k\right)! \sum_v \nu_{vu^{-1}} v$ という恒等式を適用し、行列の成分をシューベルト多項式の係数に関連付ける。
• 推測として、$\det \tilde{D}(n,k) = \pm \prod_{i=0}^{k-1} \left( \frac{\binom{n}{2} - (k+i)}{k-i} \right)^{\#(W_n)_i}$ が成り立つことを提示し、$n \leq 12$, $k \leq 5$ およびいくつかの追加ケースで検証済み。
• graded 構造と乗法則を持つ nilCoxeter 代数 $\mathcal{N}_n$ を用いて、問題を代数的に再定式化する。
• Smith 正規形 (SNF) を用いて $\tilde{D}(n,1)$ の構造を分析し、帰納法と行変形を用いて $k=1$ の場合の推測を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $0 \leq k < \frac{1}{2}\binom{n}{2}$ に対して $\det \tilde{D}(n,k) \neq 0$ であるか。その場合、弱順序 $W_n$ が強いスパーナー性質を有することを示唆する。
• RQ2 $\nu_w = \frak{S}_w(1,\dots,1) = 2$ となる置換 $w$ の正確な特徴付けは何か。この条件が、このような置換を完全に記述するか。
• RQ3 $n \to \infty$ のとき、$u(n) = \max_w \nu_w$ の漸近的成長率は何か。また、最大値をとる置換の集合は極限形状を示すか。
• RQ4 推測された $\tilde{D}(n,k)$ の行列式の公式は一般に証明可能か、それとも $k=1$ のような特別な場合に限るか。
• RQ5 行列式の公式に現れる二項係数に類似した係数の出現に、組合せ的または代数的な理由はあるか。

主な発見

• 推測された行列式の公式 $\det \tilde{D}(n,k) = \pm \prod_{i=0}^{k-1} \left( \frac{\binom{n}{2} - (k+i)}{k-i} \right)^{\#(W_n)_i}$ は、すべての $n \leq 12$ および $k \leq 5$、およびいくつかの追加ケースで成立することが確認された。
• $k=1$ の場合の証明：$\det \tilde{D}(n,1) = (-1)^{\lfloor(n-2)/2\rfloor} \left( \binom{n}{2} - 1 \right)$ であり、SNF と帰納法を用いて証明された。
• $k=1$ の場合、$\tilde{D}(n,1)$ の Smith 正規形の対角成分は $1^{n-2}, \binom{n}{2}-1$ であり、行列式および構造が確認された。
• 本稿では、置換 $w$ がちょうど1つの 132 パatters を持つならば $\nu_w = 2$ であることを証明しており、$\nu_w = 2$ であることが $w$ がちょうど1つの 132 パターンを持つことと同値であるという推測を支持する。
• $\nu_w$ の最大値 $u(n)$ は、$\frac{1}{4} \leq \liminf \frac{\log_2 u(n)}{n^2} \leq \limsup \frac{\log_2 u(n)}{n^2} \leq \frac{1}{2}$ を満たし、$n \leq 10$ に対して $u(n)$ を正確に計算しており、急激な成長が確認された。
• $n \leq 10$ の場合、$u(n)$ を達成する置換は、$132$ の後に単調減少列が続く形であり、最大値をとる置換の極限形状の可能性を示唆している。