[論文レビュー] Some solvable automaton groups

Laurent Bartholdi, Zoran Šuniḱ|ArXiv.org|Mar 1, 2006

Mathematics and Applications参考文献 6被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、$m \neq \pm 1$ である solvable Baumslag-Solitar 群 $BS(1,m)$ およびさまざまな lamplighter 群 $L_n = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \wr \mathbb{Z}$ が、根付き木上の自己同型構造を介してオートマトン群として実現可能であることを示している。これらの群は、$n$-分木上で作用する有限オートマトンから生じており、$n$ 進数の算術と $n$-進整数環上の行列乗法に基づく構成がなされ、レベル $k$ の作用における双対オートマトンとシュライエル図は、双対オートマトンの反復積と同型であることが証明されている。

ABSTRACT

It is shown that certain ascending HNN extensions of free abelian groups of finite rank, as well as various lamplighter groups, can be realized as automaton groups, i.e., can be given a self-similar structure. This includes the solvable Baumslag-Solitar groups BS(1,m), for m not +/-1. In addition, it is shown that, for any relatively prime integers m,n>=2, the pair of Baumslag-Solitar groups BS(1,m) and BS(1,n) can be realized by a pair of dual automata. The examples are then used to illustrate more general connections between Schreier graphs, composition of automata and dual automata.

研究の動機と目的

• 可解な Baumslag-Solitar 群 $BS(1,m)$ が $m \neq \pm 1$ のときオートマトン群として実現可能であることを示すこと。
• lamplighter 群 $L_n = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \wr \mathbb{Z}$ 及びその高次元版 $L_{n,d}$ が有限オートマトンを用いて実現可能であることを示すこと。
• レベル-$k$ 行動のシュライエル図と双対オートマトンの反復積との同型関係を確立すること。
• 明示的な構成を用いて、オートマトン群、シュライエル図、双対オートマトンの関係を明確にすること。

提案手法

• $n$-分木上で $m$ による乗算と $n$ 進数での加法を実現するオートマトンを構成し、$BS(1,m)$ を生成すること。
• $D_{n^k,m}$ と $(D_{n,m})^k$ の間の標準的同型を用いて、$BS(1,n^k)$ が反復双対オートマトンから生じることを示すこと。
• オートマトン $A$ が木のレベル $k$ で作用する様子を図式化した $k$-レベルシュライエルオートマトン $Sch_k(A)$ を定義すること。
• 状態の反転を $k$-組に適用することで、$Sch_k(A)$ が双対オートマトン $A'$ の $k$ 重積 $(A')^k$ と同型であることを証明すること。
• $n$-進整数環上の行列乗法を用いて、$\mathbb{Z}^d$ の上昇 HNN 拡大を実現する $d$ 次元ケースへの拡張。
• $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^d \wr \mathbb{Z}$ のオートマトンを、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 上のモニック可逆多項式を用いて構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可解な Baumslag-Solitar 群 $BS(1,m)$ は $m \neq \pm 1$ のときオートマトン群として実現可能か？
• RQ2 互いに素な $m,n \geq 2$ に対して、$BS(1,m)$ と $BS(1,n)$ は双対オートマトンのペアによって同時に実現可能か？
• RQ3 オートマトンの $k$-レベルシュライエルオートマトンとその双対の $k$ 重積との間に標準的同型が存在するか？
• RQ4 高次元ランプライトン群 $L_{n,d}$ はオートマトンが $n$-分木上で作用することによって構成可能か？
• RQ5 オートマトン作用のシュライエル図は、オートマトン群における合成と双対性とどのように関係するか？

主な発見

• $BS(1,n^k)$ は $G(D_{n^k,m})$、$G((D_{n,m})^k)$、$G(Sch_k(D_{m,n}))$ と同型であり、反復双対とシュライエル図が同じ群を生成することを示している。
• オートマトン $D_{n^k,m}$ は $(D_{n,m})^k$ と同型であり、状態は整数 $0$ から $n^k - 1$ の $k$ 桁の $n$ 進数表現に対応する。
• $k$-レベルシュライエルオートマトン $Sch_k(D_{m,n})$ は $(D_{n,m})^k$ と同型であり、双対オートマトンの積とは状態の順序が逆である。
• 任意の $d \geq 1$ および無限順序で行列式が $n$ と互いに素な $d \times d$ 行列 $M$ に対して、$M$ を用いた $\mathbb{Z}^d$ の上昇 HNN 拡大は $n$-進行列乗法を用いてオートマトン群として実現可能である。
• ランプライトン群 $L_{n,d} = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^d \wr \mathbb{Z}$ は、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 上のモニック可逆多項式に対応するオートマトンによって実現可能である。
• $n$-分木上で作用するオートマトン $A_{1+t^d}$ は $L_{n,d}$ を実現するが、シルバとスタインバーグによるリセットオートマトンの構成は Krohn-Rhodes 意味でより単純である。