[論文レビュー] Some structure theorems for algebraic groups

Michel Brion|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、体上の代数群に関する2つの基礎的構造定理について、現代的なスキーム論的証明を提供する。1つ目は、任意の代数群が、商がアフィンとなるような最小の正規部分群を持つこと（定理1）、2つ目は、商が固有となるような最小の正規部分群を持つこと（定理2）である。主たる貢献は、基本的な代数幾何学を用いた体系的かつアクセス可能な取り扱いであり、完備体上の滑らかで連結な代数群が、アーベル・多様体によるアフィン群への拡張であることを確立している。

ABSTRACT

These are extended notes of a course given at Tulane University for the 2015 Clifford Lectures. Their aim is to present structure results for group schemes of finite type over a field, with applications to Picard varieties and automorphism groups.

研究の動機と目的

• 現代の代数幾何学を用いて、体上の代数群に関する2つの中心的構造定理の、アクセス可能で自己完結的な証明を提供すること。
• アンチアフィン群の役割とアーベル・多様体との関係を明確にすること、特に代数閉体でない状況下での関係を明らかにすること。
• 完備体上の滑らかで連結な代数群が、アーベル・多様体によるアフィン群への拡張であることを確立し、主要な構造的要素を統合すること。
• これらの結果をピカール群スキームおよび自己同型群スキームの構造に応用し、特に射影多様体の文脈において検討すること。
• ローゼンリヒト分解や同調的コンパクト化の関連発展についての包括的概説を提供すること。

提案手法

• アフィン性の基準、スキームのアフィニゼーション、およびアンチアフィンスキームの剛性補題を用いて定理1を証明する。
• アレクサンダ・モルフィズムとアーベル・トーシュの理論を用い、[41]におけるアーベル・多様体に関する基礎的結果に基づいて定理2を証明する。
• 相対的フロベニウス準同型と群スキーム作用の性質を用いて、連結成分および商の構造を分析する。
• トーシュおよび同調的空間の理論を用いて、同調的空間の同調的コンパクト化を構成する。
• ブランシャールの補題を適用し、多様体の自己同型群とその商およびコンパクト化の自己同型群との関係を関係づける。
• 特徴が0のときの同調的解消の存在を活用し、滑らかで連結な代数群を滑らかで射影的かつユニラティョナールな多様体の自己同型群として実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商がアフィンとなるような代数群の最小の正規部分群は何か。その構造的性質は何か。
• RQ2 商が固有となるような代数群の最小の正規部分群は何か。その形成は体拡張の下でどのように振る舞うか。
• RQ3 アンチアフィン代数群はアーベル・多様体とどのように関係するか。また、アンチアフィン群が常にアーベル・多様体であるのはいつか。
• RQ4 任意の完備体上の滑らかで連結な代数群は、アーベル・多様体によるアフィン群への拡張として実現可能か。
• RQ5 どのような代数群が滑らかで射影的多様体の連結自己同型群として現れるか。どのような条件下でそうなるか。

主な発見

• 定理1は、体 $ k $ 上の任意の代数群 $ G $ が、商 $ G/H $ がアフィンとなるような最小の正規部分群 $ H $ を持つことを確立する。$ H $ は滑らかで、連結で、$ G^0 $ において中心的かつ可換であり、$ O(H) = k $ を満たす。また、体拡張の下で形成が可換である。
• 定理2は、任意の代数群 $ G $ が、商 $ G/N $ が固有となるような最小の正規部分群 $ N $ を持つことを示す。$ N $ はアフィンで連結であり、$ k $ が完備で $ G $ が滑らかであれば、$ N $ は滑らかで、その形成は体拡張と可換である。
• 完備体上では、滑らかで連結な代数群は、アーベル・多様体による滑らかで連結なアフィン代数群への拡張として表され、線形的およびアンチアフィン成分が統合される。
• アンチアフィン群の構造は、アーベル・多様体の構造に還元されるが、$ k $ が有限体の代数的閉包でない限り、すべてのアンチアフィン群がアーベル・多様体であるとは限らない。
• 滑らかで連結な線形代数群 $ G $ で次元 $ n $ のものについては、次元が高々 $ 2n+2 $ の正規射影的ユニラティョナール多様体の連結自己同型群として実現可能である。
• 特徴が0のとき、任意の連結代数群は滑らかで射影的かつユニラティョナールな多様体の連結自己同型群として実現可能であり、任意の有限次元代数的リー代数は、適切な固有スキームの微分作用素のリー代数として実現可能である。