[論文レビュー] Some title containing the words "homotopy" and "symplectic", e.g. this one

Pavol Ševera|ArXiv.org|May 10, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 116

ひとこと要約

本稿は、Sullivanの有理ホモトピー論を用いて、NQ多様体を用いたリー代数束の高次群体への統合を、ホモトピー論的枠組みで提示する。これはシンプレクティックおよびポワンス型構造を一般化する。主な貢献は、$Σ_n$-多様体のホモトピー的特徴付けであり、線形化されたホモトピー論により、NQ写像の空間がコホモロジーによって制御されることを示し、境界付き多様体上の$Σ_n$-ベクトルバンドルの切断空間にシンプレクティック双対性構造が存在することを示す。

ABSTRACT

Using a basic idea of Sullivan's rational homotopy theory, one can see a Lie groupoid as the fundamental groupoid of its Lie algebroid. This paper studies analogues of Lie algebroids with non-trivial higher homotopy. Using various homotopy classes one can obtain e.g. central extensions of loop groups, or one can integrate a Lie biagebroid to a double symplectic groupoid. When combined with symplectic geometry, this idea leads to an infinite sequence of notions, starting with sympectic manifolds, Poisson manifolds and Courant algebroids. They are interrelated with higher-dimensional variational problems, and one can use them to define higher-dimensional Hamiltonian mechanics.

研究の動機と目的

• 古典的な基本群体の構成を超えて、高次ホモトピーを組み込むことによるリー代数束の統合を拡張すること。
• $Σ_n$-多様体（$n=0$でシンプレクティック、$n=1$でポワンス、$n=2$でコーアント代数束）を一般化するため、NQ多様体を用いたホモトピー的枠組みを構築すること。
• NQ写像のホモトピー論と$Σ_n$-ベクトルバンドルの切断のコホモロジーとの関係を確立すること、特に境界条件が存在する場合に注目すること。
• 境界付き多様体上の$Σ_n$-ベクトルバンドルのホモトピー類の空間が自然なシンプレクティック構造を持つことを示すことにより、ポアンカレ双対性を一般化すること。

提案手法

• 通常の多様体$M$の$T[1]M$のように扱えるように、微分幾何的構造のホモトピー的モデルとしてNQ多様体を用いる。
• リー代数束$A \to M$の統合を、$TI \to A$へのリー代数束準同型のホモトピー類の空間として定義し、ホモトピーは四角形上の準同型として与える。
• 有理ホモトピー論を用いて$\Gamma$を基本群体に類似た対象として定義し、Crainic-Fernandesの方法に従い、無限次元バナッハ多様体の葉層構造によって滑らかさの問題を解決する。
• NQ写像$Y \to X$の空間の線形化により、ホモトピー類の接空間を計算し、$\psi^*TX$の切断のコチェーン複体を用いる。
• $Σ_n$-ベクトルバンドルを、度数$n$のシンプレクティック繋がりをもつNQベクトルバンドルとして定義し、$Q$-構造と整合性を持つようにする。
• $T[1]M$上のBerezin積分を用いて、切断の空間に度数$n - \dim M$のシンプレクティック形式$\omega_M$を定義し、ストークスの定理により境界と体積のコホモロジーを関係付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数束の統合は、基本群体を超える高次ホモトピーを含む形にどのように一般化できるか？
• RQ2 NQ多様体はどのようにして高次シンプレクティックおよびポワンス構造を符号化するのか？また、それらは$Σ_n$-多様体を統一的に扱うにはどう寄与するのか？
• RQ3 NQ写像の無限小変形はコホモロジーとどのように関係するのか？また、負のコホモロジー群のホモトピー的意味は何か？
• RQ4 ホモトピー類のNQ切断の空間がシンプレクティック構造を持つための条件は何か？
• RQ5 境界が存在する場合、$Σ_n$-バンドルの切断空間におけるシンプレクティック双対性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• ホモトピー類のNQ写像$Y \to X$の空間、$H^0(\Gamma(E))$は、$\psi^*TX$のNQ切断のホモトピー類の空間に同型であり、ホモトピー関係は線形ホモトピーによって定義される。
• $n > \deg X$のとき、任意のNQ写像$T[1]B^n \to X$は、小さなホモトピーにより局所的に定数写像にホモトープであり、$X$は局所的に度数$\deg X$のホモトピー型をもつ。
• 境界上で消えるNQ切断のホモトピー類の空間$Z\Gamma(E)/B\Gamma_0(E)$はシンプレクティックであり、$T[1]M$上での積分によって誘導されるシンプレクティック形式を持つ。
• 多様体$M$が閉じており、$\dim M = n$であるとき、コホモロジー$H(\Gamma(E))$はシンプレクティックであり、ポアンカレ双対性を$Σ_n$-バンドルの設定に一般化する。
• $M$に境界がある場合、空間$H(\Gamma(E))$はシンプレクティックではないが、$T[1]\partial M$上のラグランジュ部分バンドル$L \subset E'$を選び、ラグランジュ還元によりシンプレクティックな$H(\Gamma_L(E))$が得られる。
• $H(E) \to H(E')$の像は$H(E')$のラグランジュ部分空間であり、これは体積と境界のコホモロジーの双対性を反映している。