[論文レビュー] Some topological invariants and biorthogonal systems in Banach spaces

Piotr Koszmider|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、コンパクト空間における位相的不変量とバナッハ空間における双対基底系の間の相互作用を調査し、特にスプロード、遺伝的リンデレーフ度、および半双対基底列といった基数的不変量が $C(K)$ および $X$ における双対基底系のサイズにどのように関係するかに焦点を当てる。主な貢献は、CH や他の集合論的仮定のもとで、$K$ が可算スプロードを持つにもかかわらず $C(K)$ が非可算の双対基底系を持つことが一貫して成り立つこと、および一部のモデルにおいて $sbiort(X) < s(B_{X^*})$ が成り立つことの証明であり、これは標準的ZFC公理系からの独立性を示している。

ABSTRACT

We consider topological invariants on compact spaces related to the sizes of discrete subspaces (spread), densities of subspaces, Lindelof degree of subspaces, irredundant families of clopen sets and others and look at the following associations between compact topological spaces and Banach spaces: a compact K induces a Banach space C(K) of real valued continuous functions on K with the supremum norm; a Banach space X induces a compact space - the dual ball with the weak* topology. We inquire on how topological invariants on K and the dual ball are linked to the sizes of biorthogonal systems and their versions in C(K) and X respectively. We gather folkloric facts and survey recent results like that of Lopez-Abad and Todorcevic that it is consistent that there is a Banach space X without uncountable biorthogonal systems such that the spread of the dual ball is uncountable or that of Brech and Koszmider that it is consistent that there is a compact space where spread of the square of K ic countable but C(K) has uncountable biorthogonal systems.

研究の動機と目的

• コンパクト空間 $K$ および $B_{X^*}$ における位相的不変量と $C(K)$ および $X$ における双対基底系のサイズとの関係を調査すること。
• スプロード、遺伝的リンデレーフ度、および不重複性といった不変量が、非可分バナッハ空間における双対基底系およびほぼ双対基底系にどのように関係するかを検討すること。
• $K$ や $B_{X^*}$ における小さな位相的不変量をもつ非可分バナッハ空間における非可算双対基底系の一貫性に関する、伝統的かつ最近の結果をサーベイし統合すること。
• 特にロレヴィッチの問題と集合論的モデルの文脈において、半双対基底系のサイズが他の不変量から独立していることを明確にすること。

提案手法

• コンパクトハウスドルフ空間 $K$ とバナッハ空間 $X$ の双対 $X^*$ の間の標準的双対性を用い、$K$ および $B_{X^*}$ の位相的性質を $X$ および $C(K)$ の幾何的性質に関連付ける。
• 順序数による超限構成を用いて、$x_eta^*(x_eta) = 1$ かつ $\theta < \beta$ に対して $x_eta^*(x_ heta) = 0$ となるような $X$ 内の列 $(x_\beta, x_\beta^*)$ を構成し、$sbiort(X)$ の下界を確立する。
• リース表現定理を用いて $C(K)^*$ をRadon測度空間 $M(K)$ と同一視し、双対基底系の解析に測度論的道具を適用可能にする。
• $B_{X^*}$ 上の弱*位相を用い、$U_\beta = \{x^* : x^*(x_\beta) > 1/2\}$ として開集合を定義し、右分離列を示すものとし、遺伝的リンデレーフ度と関連付ける。
• クネン空間やスプリット区間の構成といった集合論的位相の結果を応用し、予想される基数不等式に対する一貫した反例を生成する。
• $\varepsilon$-双対基底系およびほぼ双対基底系を分析し、非可分バナッハ空間における幾何的構造と位相的サイズの間のギャップを探る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト空間 $K$ のスプロードが可算であっても、バナッハ空間 $X = C(K)$ が非可算の双対基底系を持つことが一貫しているとは言えるか？
• RQ2 $C(K)$ における半双対基底系のサイズが $C(K)$ の密度より厳密に小さいことは可能か？ これはロレヴィッチの問題にどのような含意を持つのか？
• RQ3 あるバナッハ空間 $X$ に対して $sbiort(X) < s(B_{X^*})$ が成り立つことは可能か？ これは $B_{X^*}$ が双対基底系のサイズを決定づける役割を果たすという点で何を明らかにするか？
• RQ4 コンパクト空間 $K$ に対して $hL(K)$ が $sbiort_1(C(K))$ より厳密に小さいことは可能か？ これは $C(K)$ の構造にどのような含意を持つのか？
• RQ5 $abiort(X) = \omega_1$ かつ $sbiort(X) = \omega$ となるバナッハ空間 $X$ が一貫して存在するか？ これはほぼ双対基底系と半双対基底系の間の顕著なギャップを示唆するか？

主な発見

• CH のもとで一貫している。あるバナッハ空間 $X = C(K)$ が存在し、$\omega = biort(X) < sbiort(X) = \omega_1 = 2^\omega$ を満たす。これは、半双対基底系が非可算であっても双対基底系が非可算でない場合があることを示している。
• あるコンパクト空間 $K$ が存在し、$\omega = biort(C(K)) < sbiort(C(K)) = \omega_2 = 2^\omega$ であることが一貫している。これは、双対基底系と半双対基底系の間のギャップが、あるモデルでは任意に大きく取り得ることを示している。
• 非距離的コンパクト空間 $K$ が存在し、非可算の半双対基底列をもたない。これは $sbiort(C(K)) < dens(C(K))$ を意味し、ロレヴィッチの問題がZFCから独立であることを示している。
• あるモデルで $\omega = sbiort_{n-1}(X) < biort_n(X) = \omega_1$ が成り立つことが一貫している（$n \geq 4$ で偶数）。これは、高階の有限台付き半双対基底系が低階のものより大きく取り得ることを示している。
• あるモデルで $sbiort(X) = biort(X) = \omega < abiort(X) = \omega_1$ が成り立つことが一貫している。これは、ほぼ双対基底系が非可算であっても、半双対基底系や双対基底系が可算である場合があることを示している。
• 任意のバナッハ空間 $X$ に対して $hL(B_{X^*}) = dens(X)$ が成り立つ。これは、$B_{X^*}$ の遺伝的リンデレーフ度が常に $X$ の密度特性と等しいことを示しており、この文脈では自明な不変量である。