[論文レビュー] Some unbounded functions of intermittent maps for which the central limit theorem holds

Jérôme Dedecker, Clémentine Prieur|ArXiv.org|Dec 17, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、中立的固定点をもつ間欠的写像における有界でない関数の部分和について、Perron-Frobenius作用素から導かれる自己回帰係数を用いて中心極限定理を確立する。可積分で単調な関数のクラスで、多項式的尾部を持つ関数に対して、標準的な √n スケーリングのもとで、関数が0付近で発散しても正規分布への収束が成立することを示し、古典的結果を有界でない観測量へと拡張する。

ABSTRACT

We compute some dependence coefficients for the stationary Markov chain whose transition kernel is the Perron-Frobenius operator of an expanding map $T$ of $[0, 1]$ with a neutral fixed point. We use these coefficients to prove a central limit theorem for the partial sums of $f\circ T^i$, when $f$ belongs to a large class of unbounded functions from $[0, 1]$ to ${\mathbb R}$. We also prove other limit theorems and moment inequalities.

研究の動機と目的

• 中立的固定点をもつ間欠的力学系における有界でない観測量へ中心極限定理を拡張すること。
• 従来の理論におけるギャップを解消し、有界または Hölder 継続的関数に対してのみ CLT が確立されていること。
• 標準的な √n スケーリングによって正規分布への収束を示す、有界でない関数のクラスを特定すること。
• 不変測度の下でのそのような関数の部分和のモーメント不等式および極限定理を確立すること。
• 有界または滑らかな関数からの結果を、中立的固定点に特異性をもつより広い関数クラスへ一般化すること。

提案手法

• 不変測度 νγ の下で、べき則的尾部を持つ単調関数の有限線形結合の L¹-閉包として、関数のクラス 𝒞(M,p,νγ) を定義する。
• 間欠的写像 Tγ の Perron-Frobenius作用素 Kγ が誘導する定常マルコフ連鎖の自己回帰係数を計算する。
• 自己回帰構造とモーメントバウンドを用いて、部分和 Sₙ(f) = ∑ᵢ₌₁ⁿ f∘Tᵢ の Lq-ノルムを制御する。
• Dedecker と Doukhan (2003)、および Rio (2000) のモーメント不等式を用いて、正規化された和の Lq-ノルムをバウンドする。
• モーメント成長条件の検証と特性関数法を用いて、正規分布への分布収束を確立する。
• 追加の混合条件のもとで、経験的分布関数のための関数的中心極限定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中立的固定点をもつ間欠的写像において、どのクラスの有界でない関数 f に対して、√n スケーリングのもとで中心極限定理が成立するか？
• RQ2 関数が中立的固定点で発散する（例えば f(x) = x⁻ᵃ）場合でも、有界性や Hölder 継続性を仮定せずに CLT を拡張できるか？
• RQ3 f に対するどのモーメントおよび正則性条件が、正規化された和 Sₙ(f) − νγ(f) が正規分布に分布収束することを保証するか？
• RQ4 自己回帰係数の減衰率は、CLT に許容可能な有界でない関数の範囲にどのように影響するか？
• RQ5 経験過程 √n(Fₙ(t) − Fνγ(t)) がどの条件下で D([0,1]) 上のtightなガウス過程に分布収束するか？

主な発見

• f ∈ 𝒞(M,p,νγ) かつ p > (2−2γ)/(1−2γ) のとき、正規化された和 n⁻¹ᐟ²(Sₙ(f) − νγ(f)) は正規分布に分布収束する。
• f(x) = x⁻ᵃ で 0 < a < 1/2 − γ の場合でも、この結果は成り立ち、従来の結果を 0 における特異性をもつ有界でない関数へと拡張する。
• f が正かつ非増加で、f(x) ≤ C(1−x)⁻ᵃ であるとき、a < (1−2γ)/(2(1−γ)) かつ q が適切な範囲にある限り、正規化された和の Lq-ノルムは O(√n) である。
• a < 1/2 かつ q が十分に大きいとき、Lq-ノルムは任意の ε > 0 に対して O(n¹⁺ε−(1−γ)(1−aq)/(γq)) として増加し、これはサブガウス型の尾部挙動を示す。
• γ < 1/3 かつ β₂(k) = O(k⁻²⁻ε) のとき、経験過程 √n(Fₙ,γ(t) − Fνγ(t)) は D([0,1]) 上のtightなガウス過程に分布収束する。
• γ < 1/2 のとき、経験過程は L²(π) 上でガウス過程に収束し、Kantorovich 距離 d₁(Fₙ,γ, Fνγ) は √n スケーリングのもとで ∫₀¹ |Gγ(t)|dt に分布収束する。