[論文レビュー] Some unified integrals associated with Bessel-Struve kernel function

Kottakkaran Sooppy Nisar, Praveen Agarwal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ベッセル＝ストルーヴ核関数 $ S_{\beta}(\nu z) $ を含む統一的な積分公式を導出し、それらを一般化されたライツ関数を用いて表現する。核関数の級数展開を活用し、既知の積分恒等式を適用することで、ベッセル関数およびストルーヴ関数の既存の積分を一般化する、新しい閉形式の結果が確立される。特殊ケースとして $ I_0, L_0, I_1, L_1 $ の既知の恒等式が回復される。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the generalized integral formula involving Bessel-Struve kernel function $S_{α}\left( λz ight) $, which expressed in terms of generalized Wright functions. Many interesting special cases also obtained in this study.

研究の動機と目的

• ベッセル＝ストルーヴ核関数 $ S_{\beta}(\nu z) $ を含む新しい統一的積分公式を導出すること。
• これらの積分を一般化されたライツ超幾何関数 $ {}_p\Psi_q $ の形で表現すること。
• パrameter $ \beta $ の特定の値を選択することで、ベッセル関数およびストルーヴ関数の既知の積分公式を特殊ケースとして回復すること。
• 従来のベッセル関数の統一的積分に関する結果を、より広範なベッセル＝ストルーヴ関数のクラスへと拡張すること。

提案手法

• ベッセル＝ストルーヴ核関数 $ S_{\alpha}(\lambda z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\lambda z)^n \Gamma(\alpha+1) \Gamma((n+1)/2)}{\sqrt{\pi} n! \Gamma(n/2 + \alpha + 1)} $ のべき級数表現を利用する。
• 積分恒等式 $ \int_0^\infty x^{\mu-1} (x+a+\sqrt{x^2+2ax})^{-\lambda} dx = 2^{1-\mu} a^{\mu-\lambda} \frac{\Gamma(2\mu) \Gamma(\lambda - \mu)}{\Gamma(1+\lambda+\mu)} $ （$ 0 < \text{Re}(\mu) < \text{Re}(\lambda) $）を適用する。
• 一様収束の条件下で和と積分を入れ替えることで、一般化されたライツ関数を用いた結果を導出する。
• 核関数の級数から導かれる特定のパrameterセットを用いて、最終的な結果を一般化されたライツ関数 $ {}_3\Psi_2 $ および $ {}_2\Psi_2 $ で表現する。
• 既知の関係式 $ S_0(z) = I_0(z) + L_0(z) $ および $ S_1(z) = (2I_1(z) + L_1(z))/z $ を用いて、特殊ケースを回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたライツ関数を用いて、ベッセル＝ストルーヴ核関数の統一的積分公式を導出することは可能か？
• RQ2 積分 $ S_{\alpha}(\nu z) $ を含む積分評価において、一般化されたライツ関数はどのように現れるか？
• RQ3 パrameter $ \alpha = 0 $ または $ \alpha = 1 $ の場合の導出された積分公式の特殊ケースは何か。これは $ I_0, L_0, I_1, L_1 $ の組み合わせに対応する。
• RQ4 結果が、既知のベッセル関数およびストルーヴ関数の積分公式をどのように一般化するか？

主な発見

• 積分 $ \int_0^\infty x^{\mu-1} (x+a+\sqrt{x^2+2ax})^{-\lambda} S_{\alpha}(\gamma y / (x+a+\sqrt{x^2+2ax})) dx $ は、$ 2^{1-\mu} a^{\mu-\lambda} \frac{\Gamma(\alpha+1) \Gamma(2\mu)}{\sqrt{\pi}} \times {}_3\Psi_2\left[ \cdots \right] $ に等しい。
• $ \alpha = 0 $ の場合、結果は $ I_0(y/\cdot) + L_0(y/\cdot) $ を含む積分に簡略化され、特定のパrameterを有する $ {}_3\Psi_3 $ として表現される。
• $ \alpha = 1 $ の場合、結果は $ 2I_1(y/\cdot) + L_1(y/\cdot) $ に対応し、$ {}_2\Psi_2 $ の形で得られる。
• 導出された公式は、ベッセル関数およびストルーヴ関数の既知の積分を、ベッセル＝ストルーヴ核関数の枠組みで統一することによって一般化する。
• 収束性および結果の有効性を保証するための条件 $ \text{Re}(\mu) > 0 $、$ \text{Re}(\lambda) > \text{Re}(\mu) $、および $ x > 0 $ が成り立つ。