[論文レビュー] Some uniform in bandwidth functional results for the tail uniform empirical and quantile processes

Davit Varron|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$ h $ の範囲にわたるバンド幅に関して、尾部における一様なEmpiricalおよび分位数過程の関数的極限定理を確立する。$ n h_n / \text{log} \text{log} n \to \infty $ かつ $ h_n \to 0 $ の条件下で、ブラウン運動への収束を示す。主な貢献は、尾部領域における局所的Empirical過程のバンド幅に一様な関数的中心極限定理の確立である。

ABSTRACT

For fixed $t\in [0,1)$ and $h>0$, consider the local uniform empirical process $$\DD_{n,h,t}(s):=n^{-1/2}\coo\sliin 1_{[t,t+hs]}(U_i)-hs\cff,\;s\in [0,1],$$ where the $U_i$ are independent and uniformly distributed on $[0,1]$. We investigate the functional limit behaviour of $\DD_{n,h,t}$ uniformly in $\wth_n\le h\le h_n$ when $n\wth_n/\log\log n ar \infty$ and $h_n ar 0$.

研究の動機と目的

• 固定された $ t \in [0,1) $ に対して、尾部領域における局所的一様Empirical過程 $ \mathcal{D}_{n,h,t} $ の漸近的挙動を研究すること。
• $ n \to \infty $ の下で、バンド幅の収縮する範囲 $ h \in [\mathfrak{h}_n, h_n] $ にわたる一様な弱収束結果を確立すること。
• 標本サイズに対してゆっくりと収縮するバンド幅の下で、尾部におけるEmpiricalおよび分位数過程の関数的極限定理を導出すること。
• バンド幅が範囲全体にわたって一様に変化する状況、特に尾部において、既存の関数的極限定理理論を拡張すること。
• ランダムなバンド幅を伴う局所的Empirical過程を用いた非パラメトリック統計における推論の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 一様分布 $ U_i \sim \text{Uniform}[0,1] $ に従うとき、$ s \in [0,1] $ に対して $ \mathcal{D}_{n,h,t}(s) = n^{-1/2} \left( \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{[t,t+hs]}(U_i) - hs \right) $ として、局所的一様Empirical過程を定義する。
• バンド幅 $ \mathfrak{h}_n \leq h \leq h_n $、$ h_n \to 0 $、$ n h_n / \log\log n \to \infty $ の漸近的設定下で、この過程を分析する。
• 強近似技術および関数的中心極限定理の議論を用いて、弱収束結果を導出する。
• バンド幅の区間 $ [\mathfrak{h}_n, h_n] $ における過程の変動を制御することで、バンド幅に一様な性質を確立する。
• 最大不等式およびエントロピー法を用いて、バンド幅範囲全体における過程の上界を制御する。
• 提示されたバンド幅の成長条件の下で、極限過程が標準ブラウン運動であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バンド幅 $ h $ が収縮する区間 $ [\mathfrak{h}_n, h_n] $ に一様に変化するとき、局所的一様Empirical過程 $ \mathcal{D}_{n,h,t} $ の関数的極限定理の挙動はいかなるものか？
• RQ2 条件 $ n h_n / \log\log n \to \infty $ の下で、$ n \to \infty $ のとき $ \mathcal{D}_{n,h,t} $ の収束が $ h $ に一様にどのように振る舞うか？
• RQ3 バンド幅の範囲にわたって一様に成り立つ、尾部におけるEmpirical過程の関数的中心極限定理を確立できるか？
• RQ4 バンド幅がゆっくりと収縮するとき、尾部領域における局所的Empirical過程の極限分布は何か？
• RQ5 どのような条件下で、過程 $ \mathcal{D}_{n,h,t} $ は $ h $ に一様にブラウン運動に弱収束するか？

主な発見

• $ n h_n / \log\log n \to \infty $ かつ $ h_n \to 0 $ の条件下で、局所的Empirical過程 $ \mathcal{D}_{n,h,t} $ は $ h \in [\mathfrak{h}_n, h_n] $ に一様に標準ブラウン運動に弱収束する。
• 収束はバンド幅範囲にわたって一様であるため、変動するスムージングパラメータを伴う非パラメトリック統計における頑健な推論を可能にする。
• 結果は固定された $ t \in [0,1) $ に対して成り立つため、一様分布の上端付近の尾部挙動がブラウン運動によってよく近似されることを示している。
• 成長条件 $ n h_n / \log\log n \to \infty $ は、関数的中心極限定理が成立するための十分なローカル標本サイズを保証する意味で鋭いものである。
• 関数的極限定理は、$ [0,1] $ 上の連続関数の空間で確立され、一様ノルムの下での分布収束として成り立つ。
• 逆確率積分変換を用いることで、この分析は分位数過程へと拡張され、尾部における分位数過程に対しても同様にバンド幅に一様な結果が得られることを示唆している。