[論文レビュー] Some upper bounds for 3-rainbow index of graphs

Tingting Liu, Yumei Hu|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、連結な2重支配集合とブロック分解を用いて、グラフの3レインボーサイズ $rx_3(G)$ のタイトな上界を確立する。最小次数 $\delta \geq 3$ のグラフに対して、$D$ を連結な2重支配集合とするとき、$rx_3(G) \leq rx_3(G[D]) + 4$ を証明し、完全二部グラフ $K_{s,t}$ ($3 \leq s \leq t$)、$(P_5,C_5)$-自由グラフ、一般のグラフについてブロック分解を用いて鋭い上界を導出し、$rx_3(G) \leq n - |\mathcal{C}| - 2|\mathcal{D}| - 1$ および $rx_3(G) \leq n - q_{\text{max}}(\delta-1) + 3$ を得る。これらの上界は、構成によってタイトであることが示されている。

ABSTRACT

A tree $T$, in an edge-colored graph $G$, is called {\em a rainbow tree} if no two edges of $T$ are assigned the same color. A {\em $k$-rainbow coloring}of $G$ is an edge coloring of $G$ having the property that for every set $S$ of $k$ vertices of $G$, there exists a rainbow tree $T$ in $G$ such that $S\subseteq V(T)$. The minimum number of colors needed in a $k$-rainbow coloring of $G$ is the {\em $k$-rainbow index of $G$}, denoted by $rx_k(G)$. In this paper, we consider 3-rainbow index $rx_3(G)$ of $G$. We first show that for connected graph $G$ with minimum degree $δ(G)\geq 3$, the tight upper bound of $rx_3(G)$ is $rx_3(G[D])+4$, where $D$ is the connected 2-dominating set of $G$. And then we determine a tight upper bound for $K_{s,t}(3\leq s\leq t)$ and a better bound for $(P_5,C_5)$-free graphs. Finally, we obtain a sharp bound for 3-rainbow index of general graphs.

研究の動機と目的

• 最小次数 $\delta \geq 3$ の連結グラフの3レインボーサイズ $rx_3(G)$ のタイトな上界を確立すること。
• 特に支配集合への色の拡張戦略を用いることで、連結な2重支配集合が $rx_3(G)$ の上界に与える役割を調査すること。
• 完全二部グラフ $K_{s,t}$ ($3 \leq s \leq t$) および $(P_5,C_5)$-自由グラフなどの特殊クラスにおける $rx_3(G)$ の鋭い上界を特定すること。
• ブロック分解と連結性の性質を用いて一般の上界を導出し、より高い最小次数を持つグラフに対して既存の上界を改善すること。

提案手法

• 連結な2重支配集合 $D$ に誘導される部分グラフの3レインボーカラーを拡張する色割り当て戦略を考案し、全体のグラフ $G$ に高々4色の追加色を用いて実装する。
• $D$ の外部の頂点を、近傍構造と成分内のスパニングフォレストに基づき、集合 $X$、$Y$、$Z$ に分割し、$D$ に接続する辺への系統的な色割り当てを可能にする。
• $3 \leq s \leq t$ の $K_{s,t}$ に対して、完全二部グラフの構造的性質と辺色割り当ての制約を用いて、$rx_3(K_{s,t})$ の鋭い上界を導出する。
• $(P_5,C_5)$-自由グラフで $\delta \geq 3$ の場合、既知の支配集合の結果と連結な2重支配集合の枠組みを組み合わせることで、$rx_3(G) \leq \frac{11}{16}n + 3$ を確立する。
• ブロック分解を用いて $rx_3(G)$ を分析し、ブロックを $\mathcal{A}$（辺）、$\mathcal{B}$（三角形）、$\mathcal{C}$（サイクルまたは小さなブロック）、$\mathcal{D}$（より大きな非サイクルブロック）に分類し、$rx_3(G) \leq n - |\mathcal{C}| - 2|\mathcal{D}| - 1$ の上界を得る。
• 定理2.1と定理4.2（連結な $k$-支配）を組み合わせることで、$rx_3(G) \leq n - q_{\text{max}}(\delta-1) + 3$ の上界を導出する。ここで $q_{\text{max}}$ は、すべての頂点 $u$ に対して $G \setminus u$ の成分数の最大値である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小次数 $\delta(G) \geq 3$ のグラフに対して、連結な2重支配集合 $D$ を用いた $rx_3(G)$ の最もタイトな上界は何か？
• RQ2 $3 \leq s \leq t$ の場合、$rx_3(K_{s,t})$ の正確な値またはタイトな上界は何か？
• RQ3 最小次数が3以上の $(P_5,C_5)$-自由グラフに対して、既存のものより良い上界を得られるか？
• RQ4 グラフのブロック分解が3レインボーサイズに与える影響は何か？鋭い一般上界を確立できるか？
• RQ5 連結性と支配パラメータを用いて、$\delta \geq 3$ の一般のグラフに対して、3レインボーサイズをよりタイトに上界で抑えられるか？

主な発見

• 任意の最小次数 $\delta(G) \geq 3$ の連結グラフ $G$ とその連結な2重支配集合 $D$ に対して、$rx_3(G) \leq rx_3(G[D]) + 4$ が成り立ち、この上界はタイトである。
• $3 \leq s \leq t$ の完全二部グラフ $K_{s,t}$ に対して、本稿は $rx_3(K_{s,t})$ の鋭い上界を特定し、先行研究を拡張する。
• $(P_5,C_5)$-自由グラフで $\delta(G) \geq 3$ の場合、$rx_3(G) \leq \frac{11}{16}n + 3$ の上界が確立され、一般の上界を改善する。
• ブロック分解を用いて、$rx_3(G) \leq n - |\mathcal{C}| - 2|\mathcal{D}| - 1$ を証明し、ここで $|\mathcal{C}|$ と $|\mathcal{D}|$ は特定のタイプのブロックの数である。この上界はタイトである。
• $\delta \geq 3$ の一般のグラフに対して、$rx_3(G) \leq n - q_{\text{max}}(\delta-1) + 3$ の上界が導出され、カット頂点が多かったり最小次数が高いグラフでは改善が見られる。
• 本稿は、導出された上界に等号が成り立つ特定のグラフを構成し、それらの上界がタイトであることを確認している。特に、$n$ 頂点、$r$ 個の4サイクル、および1つの7サイクルに弦を含むグラフは、ブロック分解の上界において等号を達成する。