[論文レビュー] Some variations on the extremal index

Gloria Buriticá, Nicolas Meyer+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2021

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、定常的かつ正規化可変な時系列の極値指数を再考し、クラスタ構造、スペクトル尾過程、および点過程の極限に基づく複数の表現と推定器を提示する。AR(1)およびアフィン確率的再帰方程式における極値指数の明示的表現を導出し、スペクトルクラスタ過程に基づく推定器が、特に極値指数が小さい場合にバイアスを低減することを示している。

ABSTRACT

We re-consider Leadbetter's extremal index for stationary sequences. It has interpretation as reciprocal of the expected size of an extremal cluster above high thresholds. We focus on heavy-tailed time series, in particular on regularly varying stationary sequences, and discuss recent research in extreme value theory for these models. A regularly varying time series has multivariate regularly varying finite-dimensional distributions. Thanks to results by Basrak and Segers we have explicit representations of the limiting cluster structure of extremes, leading to explicit expressions of the limiting point process of exceedances and the extremal index as a summary measure of extremal clustering. The extremal index appears in various situations which do not seem to be directly related, like the convergence of maxima and point processes. We consider different representations of the extremal index which arise from the considered context. We discuss the theory and apply it to a regularly varying AR(1) process and the solution to an affine stochastic recurrence equation

研究の動機と目的

• クラスタ・ポアソン過程とスペクトル尾過程を含む、複数の理論的枠組みを用いて極値指数を再表現すること。
• 特にAR(1)およびアフィン確率的再帰方程式において、正規化可変な定常系列における極値指数の明示的表現を導出すること。
• 極値指数の新しい推定器を開発・比較し、有限標本におけるバイアスと頑健性に焦点を当てる。
• 従属的な極値における最大値と点過程の収束との間の関係を確立すること。
• モンテカルロシミュレーションを用いて、重い尾を持つ時系列における推定器の性能を評価すること。

提案手法

• 多変量正規化可変性のBasrakとSegersの表現を用いて、有限次元分布における極値クラスタ構造をモデル化する。
• 極値指数をスペクトルクラスタ過程のα乗の期待値として導出する：αを尾指数とする正規化可変過程に対して θ_X = E[Q_T^α*] が成り立つ。
• 大ブロック和を条件とした、ブロック最大値とブロックα乗モーメントの比に基づく、新しい推定器 θ̂_scp^scp を提案する。
• 比較のためのベースライン推定器として、ブロック最大値とランレングス法を用い、しきい値は上位順序統計量を用いて選定する。
• データから尾指数αを推定するためにヒル推定器を適用し、[n^0.8]個の上位順序統計量を用いる。
• 1,000回の繰り返しを用いたモンテカルロシミュレーションにより、さまざまなモデルにおける推定器のバイアス、分散、頑健性を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化可変な時系列におけるスペクトルクラスタ過程を用いた極値指数の表現はどのように可能か？
• RQ2 異なる極値指数推定器の有限標本特性、特にバイアスと分散の観点での性質は何か？
• RQ3 スペクトルクラスタ過程に基づく推定器の性能は、ブロック最大値やランスベースの古典的推定器と比べてどうか？
• RQ4 極値指数は、重い尾を持つ定常系列における極値のクラスタリングをどのように反映するか？
• RQ5 特に真の極値指数が小さい場合に、ハイパーパrameterの選択に対して推定器はどの程度頑健か？

主な発見

• スペクトルクラスタ過程に基づく推定器 θ̂_scp^scp は、特に真の極値指数が小さい場合（例：アフィン確率的再帰モデルで θ_X ≈ 0.2792）に、他の推定器よりも低いバイアスを示す。
• Northropの推定器 θ̂_Nsl は最小の分散を示すが、特に極値クラスタリングが弱く標本が小さい場合に高いバイアスを生じる可能性がある。
• 区間ベースの推定器 θ̂_int はハイパーパrameterの選択に対して頑健であり、θ_X の値に関わらず安定性が高いため、実務家に好まれる。
• φ=0.2 および Student(1)ノイズを伴うAR(1)モデルでは、真の極値指数は θ_|X| = 0.8 であり、適切なチューニングにより推定器はこの値に収束する。
• シミュレーションにおいて r=64 および s=[n^0.6/r] を用いた場合、推定器 θ̂_scp^scp は最小限のチューニングで良好な性能を示し、実用的価値があることが示唆される。
• 理論的結果により、極値指数がスペクトルクラスタ過程のα乗の期待値に等しいことが確認され、極値におけるクラスタリングの新たな解析的基盤が得られた。