[論文レビュー] Sorted Range Reporting Revisited

Gelin Zhou|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$O(n\lg\lg n)$ワードの記憶領域を用いて、$O(\lg\lg n + k\lg\lg n)$のクエリ時間で2次元のソート済み範囲報告を実現するデータ構造を提示している。これは、NekrichとNavarroの先行研究を$O(\lg\lg n)$の要因で改善しており、同じ空間計算量を維持している。この手法は、階層的ウェーブレットツリーと3面範囲の後続クエリをサポートする補助構造を組み合わせることで、$x$座標の増加順に点を効率的にオンラインで報告可能である。

ABSTRACT

We consider the two-dimensional sorted range reporting problem. Our data structure requires O(n lglg n) words of space and O(lglg n + k lglg n) query time, where k is the number of points in the query range. This data structure improves a recent result of Nekrich and Navarro [8] by a factor of O(lglg n) in query time, and matches the state of the art for unsorted range reporting [1].

研究の動機と目的

• 線形対数時間の空間使用量を維持しつつ、2次元のソート済み範囲報告問題に対してより高速なクエリ時間を達成すること。
• 特に空間効率的な構造におけるクエリ時間の面で、ソート済みと未ソートの範囲報告の性能差を埋めること。
• $O(n\lg\lg n)$の空間で、$O(\lg\lg n)$のクエリ時間で範囲後続クエリを実現することにより、未ソート範囲報告の最良既知の境界と一致させること。
• 事前にソートを行わずに、$x$座標の順序に従って点をオンラインで出力可能とすることにより、結果のストリーミングを効率的に行えるようにすること。

提案手法

• 各ノードで点集合を階層的に分解するウェーブレットツリーに基づく範囲報告構造を構築する。
• 各ノード$v$に対して、$S(v)$上に3面範囲後続クエリを$O(\lg\lg n)$時間でサポートする補助データ構造を維持する。
• $S(v)$の点をサイズ$\lg^3 n$のブロックに分割し、ブロック最小値上に構造$D(v)$を維持して、ブロック間の高速後続クエリを可能にする。
• さらにブロックをサイズ$\lg^\epsilon n$のサブブロックに分割し、Lemma 5を用いてサブブロック最小値上に$E_i(v)$を維持することで、$O(\lg\lg\lg n)$時間のクエリを実現する。
• スパarsely表現された先行者データ構造と、サイズ$\lg^\epsilon n$の小さなサブブロックにおける定数時間のテーブル参照を可能にするグローバルルックアップテーブルを用い、局所的後続クエリを加速する。
• ウェーブレットツリーと階層的後続構造を組み合わせることで、4面範囲後続クエリを$O(\lg\lg n)$時間で解けるようにし、繰り返し後続クエリを用いてソート済み範囲報告を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間計算量$O(n\lg\lg n)$で、未ソート範囲報告の最良既知の境界と一致する$O(\lg\lg n)$のクエリ時間で2次元のソート済み範囲報告を達成できるか？
• RQ2 NekrichとNavarroの$O(\lg^2\lg n + k\lg^2\lg n)$のクエリ時間（空間計算量$O(n\lg\lg n)$）を、$O(\lg\lg n)$の要因で改善できるか？
• RQ3 空間計算量$O(n\lg\lg n)$を維持しつつ、3面範囲後続クエリを$O(\lg\lg n)$時間で効率的にサポートできるか？
• RQ4 ブロックとサブブロックの階層的分解と、ブロックおよびサブブロック構造を用いることで、事前ソートなしに効率的なオンラインのソート済み出力を実現できるか？

主な発見

• 提案されたデータ構造は、$O(n\lg\lg n)$ワードの記憶領域を用いて、$O(\lg\lg n + k\lg\lg n)$のクエリ時間で2次元のソート済み範囲報告を実現する。
• 同じ空間計算量の下で、NekrichとNavarroの$O(\lg^2\lg n + k\lg^2\lg n)$のクエリ時間よりも$O(\lg\lg n)$の要因で高速化されている。
• 空間計算量$O(n\lg\lg n)$を維持しつつ、3面範囲後続クエリを$O(\lg\lg n)$時間でサポートし、未ソート範囲報告の最適境界と一致している。
• スパarsely表現された先行者および後続者構造を用いた階層的ブロックおよびサブブロックの分解により、局所的およびグローバルな範囲クエリが効率的に行える。
• サイズ$\lg^\epsilon n$のサブブロックにおける定数時間のテーブル参照を可能にする、$o(n)$ビットのグローバルルックアップテーブルを用いることで、全体の空間効率性が保証されている。
• 繰り返し範囲後続クエリを用いることで、$x$座標の増加順に点をオンラインで出力可能であり、提示された時間計算量が達成されている。