[論文レビュー] Sorting Balls and Water: Equivalence and Computational Complexity

Takehiro Ito, Jun Kawahara+8 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

semigroups and automata theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ボールソートパズルとウォーターソートパズルの計算的同等性を確立し、両者ともNP完全であることを証明する。任意の解けるインスタンスに対して多項式長の解法シーケンスが存在することを示し、すべての構成において解けることを保証するための最小空きビン数についてタイトな境界を導出する。これは、これらの人気パズルにおける主要な構造的制約を解消するものである。

ABSTRACT

Various forms of sorting problems have been studied over the years. Recently, two kinds of sorting puzzle apps are popularized. In these puzzles, we are given a set of bins filled with colored units, balls or water, and some empty bins. These puzzles allow us to move colored units from a bin to another when the colors involved match in some way or the target bin is empty. The goal of these puzzles is to sort all the color units in order. We investigate computational complexities of these puzzles. We first show that these two puzzles are essentially the same from the viewpoint of solvability. That is, an instance is sortable by ball-moves if and only if it is sortable by water-moves. We also show that every yes-instance has a solution of polynomial length, which implies that these puzzles belong to in NP. We then show that these puzzles are NP-complete. For some special cases, we give polynomial-time algorithms. We finally consider the number of empty bins sufficient for making all instances solvable and give non-trivial upper and lower bounds in terms of the number of filled bins and the capacity of bins.

研究の動機と目的

• ボールソートパズル（BSP）とウォーターソートパズル（WSP）の計算的複雑性を調査すること。これらは、人気のあるレクリエーションパズルの2つである。
• BSPおよびWSPの解法可能性が、それぞれの移動ルールのもとで同等であるかどうかを特定すること。
• 両パズルのNP完全性を確立し、最短解法シーケンスを求める複雑性を分析すること。
• ビン容量hと満タンビン数nの観点から、すべてのインスタンスが解けるようにするために必要な空きビンの数について、タイトな境界を導出すること。
• 特に、h = 2で色の数がnに等しいような特殊ケースに対して、多項式時間アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 移動シーケンスの構造的解析を用いて、水移動で解ける任意のインスタンスがボール移動でも解けること、逆に同様に成り立つことを示し、BSPとWSPの同等性を証明する。
• BSPおよびWSPのいずれのyesインスタンスに対しても、n + hに関して多項式長の解法シーケンスが存在することを示し、両問題がNPに属することを証明する。
• 3分割問題への帰着を用いてBSPおよびWSPのNP完全性を証明する。さらに、修正版の帰着により、自明なyesインスタンスにおける最短経路の探索に対してもNP完全性が成立することを示す。
• 極端な構成を構築し、各色ごとに除去される単位数に関する再帰的不等式を適用することで、解法可能性に必要な最小空きビン数を分析する。
• 極端な組み合わせ的議論と単位除去シーケンスに関する再帰的境界を用いて、空きビン数k(n,h)の下限・上限を導出する。
• 各ビンに最大2単位まで収容可能であり、グリーディなバケットソートに類似した戦略を用いることで、h = 2で色の数がnに等しい場合に多項式時間アルゴリズムを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボールソートパズルとウォーターソートパズルは、解法可能性の観点から計算的に同等であるか？
• RQ2 与えられた初期構成が単色ビンに整列可能かどうかを判定する問題は、両パズルにおいてNP完全であるか？
• RQ3 ウォーターソートパズルの自明なyesインスタンスにおいて、最短解法シーケンスを多項式時間で見つけられるか？
• RQ4 n個の満タンビン（容量h）を持つすべてのインスタンスが解けるように保証するための最小空きビン数は何か？
• RQ5 必要な空きビン数は、hとnの両方に依存するのか、それとも固定されたhに対してnとは無関係か？

主な発見

• ボールソートパズル（BSP）とウォーターソートパズル（WSP）は計算的に同等である：ボール移動で解けるインスタンスであることは、かつは水移動でも解けるインスタンスに同値である。
• BSPおよびWSPの両方ともNP完全であり、1つのビンに1色のみが入るようなインスタンスや、空きビンが少数のインスタンスに対しても同様に成り立つ。
• BSPおよびWSPのいずれのyesインスタンスに対しても、n + hに関して多項式長の解法シーケンスが存在する。これは、NPに属することを証明する。
• 特に、ビン容量h = 2で色の数がnに等しい場合、両パズルは多項式時間O(hn)で解ける。
• すべてのインスタンスが解けるようにするために必要な最小空きビン数は、下限⌈19/64 min{n, h}⌉および上限⌈(h−1)/h n⌉で抑えられる。
• 下限⌈19/64 min{n, h}⌉はタイトであり、各色の単位が初期位置から除去される回数に関する再帰的不等式を用いて導出され、最悪ケースの構成を仮定している。