[論文レビュー] Sorting Cayley permutations with pattern-avoiding machines

Giulio Cerbai|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2020

semigroups and automata theory参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、繰り返し要素を許す列であるケイリー順列へと、パターン回避スタックマシンを一般化する。パターンクラスとして、どのパターンがソート可能な順列を生じるかを同定することで実現する。$\sigma$-回避スタック作用素を用いて、ケイリー順列に新たな対合を定義し、カメ型ポップスタックソート可能な順列を4つの禁止パターンで完全に特徴づける。その列挙は $3^{n-1}$ であることを証明するが、ウサギ型ポップスタックの場合は未解決のまま今後の研究に残されている。

ABSTRACT

Pattern avoiding machines were recently introduced by Claesson, Ferrari and the current author to gain a better understanding of the classical $2$-stacksort problem. In this paper we generalize these devices by allowing permutations with repeated elements, also known as Cayley permutations. The main result is a description of those patterns such that the corresponding set of sortable permutations is a class. We also show a new involution on the set of Cayley permutations, obtained by regarding a pattern-avoiding stack as an operator. Finally, we analyze two generalizations of pop-stack sorting on Cayley permutations. In both cases we describe sortable permutations in terms of pattern avoidance.

研究の動機と目的

• 繰り返し要素を許すケイリー順列へと、パターン回避スタックマシンの理論を拡張すること。
• 固定された禁止パターン $\sigma$ に対して、$\sigma$-制限スタックでソート可能な順列の集合が組合せクラスをなす条件を同定すること。
• $\sigma$-回避スタックと反転作用素の合成によって誘導されるケイリー順列上の新たな対合を定義・分析すること。
• 2種類の変種（ウサギ型・カメ型）を用いて、ケイリー順列へのポップスタックソートの一般化を実施すること。
• これらの2つの一般化におけるソート可能なケイリー順列の集合を、禁止パターン条件によって特徴づけること。

提案手法

• 論文は、固定されたパターン $\sigma$ がスタック内に現れないように制限する右グリーディスタックとして $\sigma$-回避スタックを定義する。
• 作用素 $\mathcal{S}^\sigma$ の構造的解析を可能とするために、$\sigma$-回避スタックの作用をラベル付きDyckパスとして符号化する。
• 対合は $\mathcal{S}^\sigma$ と反転作用素の合成によって構成され、ケイリー順列の要素の多重集合を保存する。
• カメ型ポップスタックソートでは、入力を最大の厳密に減少するブロックに分割し、各ブロックを反転したものを順に連結して出力とする。
• ソート可能な順列の特徴づけは、ブロック構造と $231$, $312$, $221$, $211$ などの禁止パターンの解析に依存する。
• カメ型ポップスタックソート可能な順列の列挙は、ブロックの開始位置と内部要素の順序に関する制約を満たすブロック分解の数を数えることで達成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのパターン $\sigma$ に対して、$\sigma$-回避スタックでソート可能なケイリー順列の集合が組合せクラスをなすか？
• RQ2 どのパターン $\sigma$ に対して、$\sigma$-回避スタック作用素 $\mathcal{S}^\sigma$ が双射となるか？
• RQ3 カメ型ポップスタックソート可能なケイリー順列を特徴づける完全な禁止パターンの集合は何か？
• RQ4 カメ型ポップスタックソート可能なケイリー順列を列挙するための幾何的または組合せ的モデルを構築可能か？
• RQ5 ウサギ型ポップスタックソート可能なケイリー順列の列挙は何か？ また、既知の整数列と一致するか？

主な発見

• ケイリー順列が $\sigma$-回避スタックでソート可能である集合がクラスをなすのは、$\sigma$ が $12$, $21$, または $11$ の場合に限られ、その基底は単一または2つのパターンからなる。
• $\sigma$-回避スタック作用素と反転作用素の合成により、ケイリー順列上の新たな対合が構成され、要素の多重集合が保存される。
• カメ型ポップスタックソート可能なケイリー順列は、$231$, $312$, $221$, $211$ の4つのパターンを回避することによって特徴づけられる。
• 長さ $n$ のカメ型ポップスタックソート可能なケイリー順列の数は、正確に $3^{n-1}$ であり、$k$ 個のブロックを持つ分解では $\binom{n-1}{k-1}2^{k-1}$ 個の順列が寄与する。
• ウサギ型ポップスタックソート可能なケイリー順列の列挙は未解決であり、初期列挙 $1, 3, 11, 41, 151, 553$ は既知のOEISエントリと一致しない。
• カメ型ポップスタックソートの構造的制約は以下の通り：ブロックの開始位置は非減少、各ブロック内要素は増加、以降のブロックの要素は直前のブロックの開始値以上である。