[論文レビュー] SOS approximations of nonnegative polynomials via simple high degree perturbation

Jean B. Lasserre, Tim Netzer|ArXiv.org|Oct 21, 2005

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高次元の摂動を用いて、任意の非負多項式を $[-1,1]^n$ や特定の半代数的集合上で、平方和（SOS）による明示的かつ単純な近似手法を提示する。十分に大きな $r$ に対して、$ε \Theta_r = \u03b5(1 + \sum X_j^{2r})$ の小さな倍数を加えることで、結果として得られる多項式はSOSに変わる。これにより、係数の $\ell_1$-ノルムにおける有効なSOSベースの非負性証明と近似が可能になる。

ABSTRACT

We show that every real polynomial $f$ nonnegative on $[-1,1]^{n}$ can be approximated in the $l_{1}$-norm of coefficients, by a sequence of polynomials $\{f_{\ep r}\}$ that are sums of squares. This complements the existence of s.o.s. approximations in the denseness result of Berg, Christensen and Ressel, as we provide a very simple and extit{explicit} approximation sequence. Then we show that if the Moment Problem holds for a basic closed semi-algebraic set $K_S\subset\R^n$ with nonempty interior, then every polynomial nonnegative on $K_S$ can be approximated in a similar fashion by elements from the corresponding preordering. Finally, we show that the degree of the perturbation in the approximating sequence depends on $ε$ as well as the degree and the size of coefficients of the nonnegative polynomial $f$, but not on the specific values of its coefficients.

研究の動機と目的

• 非負多項式 $[-1,1]^n$ 上での明示的かつ構成的SOS近似列の提供により、従来の存在結果の非構成的性質を克服すること。
• Moment Problem仮定の下で、基本的閉半代数的集合 $K_S$ 上で非負である多項式へのSOS近似フレームワークの拡張。
• 必要となる摂動次数 $r$ が $\varepsilon$、次数、係数の大きさに依存するが、係数の具体的な値とは独立に、その依存関係を特定すること。

提案手法

• 多項式 $\Theta_r = 1 + \sum_{j=1}^n X_j^{2r}$ を導入し、$f_{\varepsilon r} = f + \varepsilon \Theta_r$ を構成することで、十分に大きな $r$ に対してSOSに変わる。
• 線形汎関数の技法とモーメントの正値制約を用いて、$\mathcal{A}_{2r}$ 上の線形汎関数の値を評価し、摂動された多項式がSOS錐内にあることを保証する。
• 多項式 $f + \varepsilon_r^* \Theta_r$ がSOSである最小の $\varepsilon_r^*$ は、$\mathcal{A}_{2r}$ 上の線形形式を含む有限次元の半正定値計画問題によって特徴づけられる。
• 一般の半代数的集合 $K_S$ に対しては、$\theta_r = \sum_{j=1}^n \sum_{k=0}^r \frac{X_j^{2k}}{k!}$ を用いて摂動法を適応し、十分に大きな $r$ に対して $f_{\varepsilon r} \in T_S$（前置順序）となることを保証する。
• 摂動次数 $r$ が $\varepsilon$、$n$、$f$ の次数、および係数の大きさにのみ依存し、$f$ の具体的な係数値とは独立に決定されることを証明する。
• 帰納法とモーメントに基づく不等式を用いて、正値制約下での混合モーメントを評価し、近似誤差に対して一様な制御を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負多項式 $[-1,1]^n$ 上での構成的で明示的なSOS近似列を提供できるか。存在の証明を超えて、実際に構成可能か。
• RQ2 Moment Problemが $S$ に対して成り立つ場合、SOS近似性質は基本的閉半代数的集合 $K_S$ 上で非負である多項式へと拡張可能か。
• RQ3 多項式 $f + \varepsilon \Theta_r$ がSOSに変わるための摂動 $\Theta_r$ の最小次数 $r$ は何か。
• RQ4 必要な摂動次数 $r$ は入力多項式 $f$ と近似許容誤差 $\varepsilon$ にどのように依存するか。
• RQ5 摂動を選び、$f_{\varepsilon r}$ が前置順序 $T_S$ に属するようにでき、$K_S$ 上での非負性証明が可能になるか。

主な発見

• 任意の $[-1,1]^n$ 上で非負な多項式 $f$ に対して、十分に大きな $r$ に対して摂動多項式 $f_{\varepsilon r} = f + \varepsilon \Theta_r$ は平方和である。また、$\varepsilon \to 0$ のとき $\|f_{\varepsilon r} - f\|_1 \to 0$ となる。
• 多項式 $f + \varepsilon_r^* \Theta_r$ がSOSである最小の $\varepsilon_r^*$ は、$\mathcal{A}_{2r}$ 上の線形汎関数を含む有限次元の半正定値計画問題の解として特徴づけられる。制約条件は $L(\Theta_r) \leq 1$ およびすべての $h \in \mathcal{A}_r$ に対して $L(h^2) \geq 0$ である。
• 内部が空でない基本的閉半代数的集合 $K_S$ 上で非負な多項式で、$S$ に対してMoment Problemが成り立つ場合、十分に大きな $r$ に対して $f_{\varepsilon r} = f + \varepsilon \theta_r$ は前置順序 $T_S$ に属する。これにより非負性証明が可能になる。
• 必要な摂動次数 $r$ は $\varepsilon$、次元 $n$、$f$ の次数、および係数の大きさにのみ依存する。$f$ の具体的な係数値とは無関係である。
• Nussbaumの定理のような深い結果を避けており、[7] や [8] の手法よりも単純で直接的な証明を提供する。
• 近似は $[-1,1]^n$ 上で一様であり、摂動 $\theta_r$ により、$T_S$ に属することは $K_S$ 上での非負性を保証する。これにより、非負性のアルゴリズム的検出が可能になる。