[論文レビュー] SOSOPT: A Toolbox for Polynomial Optimization

Peter Seiler|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 22被引用数 40

ひとこと要約

SOSOPT は、多項式最適化問題を半正定値計画（SDP）に変換することで、和の平方（SOS）多項式最適化問題を定式化・解くための MATLAB ツールボックスです。SeDuMi や multipoly ツールボックスを活用し、効率的な SDP 形式への変換により、SOS テスト、実行可能性問題、標準最適化、一般化 SOS 問題をサポートします。多項式の操作と解の検証に役立てます。

ABSTRACT

SOSOPT is a Matlab toolbox for formulating and solving Sum-of-Squares (SOS) polynomial optimizations. This document briefly describes the use and functionality of this toolbox. Section 1 introduces the problem formulations for SOS tests, SOS feasibility problems, SOS optimizations, and generalized SOS problems. Section 2 reviews the SOSOPT toolbox for solving these optimizations. This section includes information on toolbox installation, formulating constraints, solving SOS optimizations, and setting optimization options. Finally, Section 3 briefly reviews the connections between SOS optimizations and semidefinite programs (SDPs). It is the connection to SDPs that enables SOS optimizations to be solved in an efficient manner

研究の動機と目的

• 高水準な環境（MATLAB）で和の平方（SOS）多項式最適化問題を定式化・解くための使いやすい MATLAB ツールボックスを提供すること。
• SOS 制約を自動的に SDP 形式に変換することで、多項式最適化と半正定値計画（SDP）を結びつけること。
• SOS テスト、実行可能性問題、標準 SOS 最適化、一般化 SOS プログラムを含む、多様な最適化タイプをサポートすること。
• Gram 行列分解と制約の満たし方の完全な検証を含む、設定可能な実行可能性チェックにより、解の信頼性を確保すること。
• SeDuMi、SDPT3、CSDP などの既存の SDP ソルバと連携することで、計算の効率性を高めること。

提案手法

• 多変数多項式の表現と制約の定義に multipoly ツールボックスを用い、多項式の操作を可能にします。
• 関係演算子（<=, >=, ==）をオーバーロードし、SOS 制約と等式制約を生成。制約管理のため polyconstr オブジェクトを返します。
• Gram 行列分解を用いて SOS 制約を線形行列不等式（LMI）制約に変換し、SOS 実行可能性問題を SDP 形式に変換します。
• 各 SOS 制約を、意思決定変数と行列要素の線形等式制約を満たす正定値行列として表現します。
• sosoptions オブジェクトを通じて、プリムアル（像）およびデュアル（核）の SDP 形式をサポートし、ソルバの柔軟性を提供します。
• 一般化 SOS 問題に対しては、バイセクション法と実行可能性チェックを用い、意思決定変数に二重線形項を含むため、準凸性を活かして効率的に解きます。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 和の平方多項式最適化問題は、MATLAB のような高水準環境で、どのように効率的に定式化・解くことができるか？
• RQ2 数値的精度を保ちつつ、SOS 制約を等価な半正定値計画（SDP）に変換する最も効果的な方法は何か？
• RQ3 二重線形項を含むため非凸構造を持つ一般化 SOS 問題は、どのように効率的に解くことができるか？
• RQ4 数値誤差が存在する状況でも、SOS 解の実行可能性を検証する最も信頼性の高い方法は何か？
• RQ5 統一的かつ拡張可能なフレームワーク内で、テスト、実行可能性、最適化、一般化問題といった多様な最適化タイプをサポートするツールボックスは、どのように設計できるか？

主な発見

• SOSOPT は、SOS 多項式最適化問題を等価な半正定値計画（SDP）に変換し、標準的な SDP ソルバを用いて効率的に解けることを確認しました。
• ツールボックスは、SOS テスト、SOS 実行可能性、標準 SOS 最適化、一般化 SOS 最適化の4つの主な問題タイプを、一貫したインターフェースでサポートしています。
• 一般化 SOS 問題は意思決定変数に関して二重線形であるものの、準凸性を示し、スカラー変数 t に対するバイセクション法により効率的に解けることが判明しました。
• 実行可能性チェックは設定可能：'fast' オプションではソルバが提供する実行可能性情報を使用し、'full' オプションでは Gram 行列の正定値性と係数の一致を許容誤差内に検証します。
• SeDuMi、SDPT3、CSDP とのテストが行われており、SeDuMi が最も広く検証済みのソルバです。
• SDP の出力から解を再構成する際には、最適な意思決定変数と Gram 行列分解を回復させ、多項式形式での正しさと解釈可能性を保証しています。