[論文レビュー] Sp(2n,R) electric-magnetic duality as off-shell symmetry of interacting electromagnetic and scalar fields

Claudio Bunster, Marc Henneaux|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$Sp(2n,\mathbb{R})$ 電磁双対性が、相互作用を伴う電磁場およびスカラー場に対してオフシェル（非運動方程式依存）対称性であることを確立している。これは、自由マクスウェル理論における $SO(2)$ 双対性に関する先行研究を拡張するものである。双対ポテンシャルを導入した第一順位ハミルトニアン形式で理論を定式化することにより、著者らは、1つのマクスウェル場では $SL(2,\mathbb{R})$ として実現されるが、$n$ 個の場に一般化された $Sp(2n,\mathbb{R})$ 対称性が、作用自体を正確に保存することを示した。これは運動方程式の保存にとどまらず、最大超重力理論や $p$-形式におけるねじれ自己双対性にも影響を及ぼす。

ABSTRACT

It was established long ago that SO(2) electric-magnetic duality is an {\em off-shell} symmetry of the free Maxwell theory, i.e., that it leaves invariant the action and not just the equations of motion. We review here that analysis and extend it to the Maxwell field coupled to scalar fields defined on the $SL(2,\mathbb{R})/SO(2)$ coset space, showing that $SL(2,\mathbb{R})$ is in that case an {\em off-shell} symmetry. We also show how the result can be generalized to many Maxwell fields and $Sp(2n, \mathbb{R})$ duality symmetry - or a subgroup of it, recovering in particular the case of maximal supergravity in four dimensions with $E_{7,7}$ symmetry. We finally indicate further possible extensions to twisted self-duality equations for $p$-forms, including Chern-Simons terms and Pauli couplings, as well as linearized gravity, which will be treated in depth elsewhere.

研究の動機と目的

• 自由マクスウェル理論における既知のオフシェル $SO(2)$ 雙対性対称性を、スカラー場を含む相互作用系へと拡張すること。
• マクスウェル場が $SL(2,\mathbb{R})/SO(2)$ 余因子空間上にスカラー場と結合する場合、$SL(2,\mathbb{R})$ 雙対性が運動方程式を介さずにオフシェル対称性のままであることを示すこと。
• この結果を $n$ 個の相互作用を伴うマクスウェル場に一般化し、全 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 群がオフシェル対称性として作用することを示すこと。
• この対称性が、ポアッリ結合、チチェン＝シモンズ項、およびねじれ自己双対性条件に対しても保存され、変分原理が保たれることを確立すること。
• $Sp(2n,\mathbb{R})$ 対称性が最大であり、群埋め込み障害のため、標準的ヤン・ミルズ手続きによるゲージ化が不可能であることを明確にすること。

提案手法

• 電磁場理論を、ベクトルポテンシャル $A^a_i$ の空間成分に対する共共役運動量 $\pi^i_a$ を導入することで、第一順位ハミルトニアン形式に定式化する。
• ガウスの法則の制約を解消するために、第二のベクトルポテンシャル $Z^a_i$ を導入し、$A^a_\mu$ と $Z^a_\mu$ の関数として、明示的に双対性不変な作用を構築する。
• 第一順位形式から第二順位作用 $S^V[A^a_\mu]$ を導出し、スカラー場 $\varphi^i$ に依存する $\mu_{ab}(\varphi^i)$ および $\nu_{ab}(\varphi^i)$ でパrameter化された運動項と双対項を含む。
• スカラー場が $Sp(2n,\mathbb{R})/U(n)$ 余因子上にあるとき、得られた作用が $Sp(2n,\mathbb{R})$ 変換に対して不変であり、運動方程式に依存しないオフシェル不変性を示す。
• ネーター法と経路積分形式を用いて、量子的整合性を保証し、オフシェル性を活用する。
• 微小双対変換の下での作用の不変性を解析し、運動項および双対項の変分が全微分であることを確認することで、オフシェル不変性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SL(2,\mathbb{R})$ 電磁双対性が、$SL(2,\mathbb{R})/SO(2)$ 上のスカラー場と結合するマクスウェル場に対して、運動方程式を介さずにオフシェル対称性であるか。
• RQ2 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 雙対性対称性を、スカラー場と結合する $n$ 個の相互作用マクスウェル場に拡張でき、かつオフシェルであるか。
• RQ3 ポアッリ結合やチチェン＝シモンズ項といった追加結合項が含まれる場合、オフシェル双対性対称性は保たれるか。
• RQ4 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 対称性が最大であり、標準的ヤン・ミルズ手続きによるゲージ化ができないのはなぜか。
• RQ5 $p$-形式におけるねじれ自己双対性方程式の変分原理を、マクスウェルの場合と同様に明示的に双対性不変にできるか。

主な発見

• $SL(2,\mathbb{R})$ 雙対性対称性は、マクスウェル-スカラー系においてオフシェル対称性である。これは、運動方程式を課す前でも作用が双対変換に対して不変であることを意味する。
• オフシェル不変性は、双対ポテンシャル $Z^a_i$ を用いた第一順位ハミルトニアン形式によって確立され、ガウスの法則を解消し、明示的な双対性不変性を可能にする。
• スカラー場が $Sp(2n,\mathbb{R})/U(n)$ 余因子上にある $n$ 個の相互作用マクスウェル場に対して、全 $Sp(2n,\mathbb{R})$ 群が作用に対してオフシェル対称性として作用する。
• ポアッリ結合およびチチェン＝シモンズ項に対しても、この対称性は保存され、作用の変分における全微分構造が保たれる。
• $Sp(2n,\mathbb{R})$ 対称性は最大であり、運動項がスカラー場に依存しない限り、ゲージ不変性が破れるため、そのような依存性がない。
• 群の随伴表現における埋め込み障害のため、標準的ヤン・ミルズ置換による $Sp(2n,\mathbb{R})$ 雙対性対称性のゲージ化は、スカラー結合があっても依然として不可能である。