[論文レビュー] Space and time dimensions of algebras with applications to Lorentzian noncommutative geometry and quantum electrodynamics

Nadir Bizi, Christian Brouder+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2つの自己随伴対合と、特定の交換関係を満たす反ユニタリ作用素を備えた複素 *C*-代数に、空間と時間の次元を 8 を法として割り当てる新しい手法を提案する。これは $KO$-次元概念の一般化である。この枠組みにより、クリーン空間を用いた擬リーマン幾何への拡張が可能となり、量子電磁力学のローレンツ型スペクトル三重対を正しく構成し、フェルミオンの二重化問題を解消した。

ABSTRACT

An analogy with real Clifford algebras on even-dimensional vector spaces suggests to assign a couple of space and time dimensions modulo 8 to any algebra (represented over a complex Hilbert space) containing two self-adjoint involutions and an anti-unitary operator with specific commutation relations. It is shown that this assignment is compatible with the tensor product: the space and time dimensions of the tensor product are the sums of the space and time dimensions of its factors. This could provide an interpretation of the presence of such algebras in PT-symmetric Hamiltonians or the description of topological matter. This construction is used to build an indefinite (i.e. pseudo-Riemannian) version of the spectral triples of noncommutative geometry, defined over Krein spaces instead of Hilbert spaces. Within this framework, we can express the Lagrangian (both bosonic and fermionic) of a Lorentzian almost-commutative spectral triple. We exhibit a space of physical states that solves the fermion-doubling problem. The example of quantum electrodynamics is described.

研究の動機と目的

• リーマン幾何から擬リーマン幾何（ローレンツ型）への $KO$-次元概念の一般化を、代数に空間および時間の次元を 8 を法として割り当てることで実現する。
• 基本的対称性を用いて物理的状態空間を定義することで、ローレンツ型スペクトル三重対におけるフェルミオンの二重化問題を解消する。
• ローレンツ型ほぼ可換幾何に適した一貫性のある不定（クリーン空間に基づく）スペクトル三重対を構築する。
• この枠組み内で量子電磁力学（QED）の物理的ラグランジアンを導出し、標準的な物理的形と一致させる。
• 次元割り当てが代数のグラードテンソル積と整合することを確立し、複合系においても一貫性を保証する。

提案手法

• キラリティ作用素 $\chi$、基本的対称性 $\eta$、電荷共役作用素 $J$ 間の交換関係から導かれる3つの符号を用いて、代数に空間および時間の次元を 8 を法として割り当てる。
• ヒルベルト空間の代わりにクリーン空間を用いて不定スペクトル三重対を定義し、ローレンツ型計量に不可欠な非正定値内積を可能にする。
• ローレンツ型の場合のディラック作用素 $D(A)$ を $D - q\gamma^\mu A_\mu \otimes \varpi$ として構成し、表現 $\pi$ を通じてゲージポテンシャルを組み込む。
• コンネス＝ロット＝エルスナー（CLE）ラグランジアンを $\mathcal{L}_{\mathrm{CLE}} = \mathrm{Tr}_z(\theta^\times \theta) + \frac{1}{2}(\Psi, D(A)\Psi)$ として定義し、トレースの曖昧さを解消する正定値重み $z$ を導入する。
• 基本的対称性 $\eta$ と電荷共役作用素 $J$ を用いて、粒子と反粒子が等しい質量を持ち、電流が逆符号となるように保証する。これには反交換関係の仮定を必要としない。
• ボソン的ラグランジアン $\mathcal{L}_b = -8\rho q^2 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ が $\rho = 1/(32q^2)$ を選ぶことで物理的形に一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不定（擬リーマン型）スペクトル三重対に対して、代数的構造を用いて一般化された $KO$-次元概念を定義できるか？
• RQ2 ローレンツ型非可換幾何におけるフェルミオンの二重化問題は、どのように解消できるか？
• RQ3 量子電磁力学のためのコンネス＝ロット型スペクトル作用のローレンツ型バージョンを一貫して構築できるか？
• RQ4 代数の 8 を法とする次元割り当てが、代数のグラードテンソル積と整合するか？
• RQ5 反交換関係に依存せずに、クリーン空間に基づくスペクトル三重対から物理的 QED ラグランジアンを導出できるか？

主な発見

• 2つの自己随伴対合と、特定の交換関係を満たす反ユニタリ作用素を備えた任意の代数に、空間および時間の次元を 8 を法として一貫して割り当てられる。
• 次元割り当てはグラードテンソル積と整合する：$A_1 \hat{\otimes} A_2$ の次元は、$A_1$ と $A_2$ の次元の和を 8 を法として得る。
• 基本的対称性 $\eta$ を用いて、ローレンツ型スペクトル三重対におけるフェルミオンの二重化問題を解消する物理的状態空間が構築された。
• QED のローレンツ型スペクトル三重対が正しく定義され、正定値重み $z$ を用いたトレース正則化の後、ラグランジアンは標準的な物理的形と一致した。
• フェルミオンおよびゲージラグランジアンは反交換関係を仮定せず導出可能であり、粒子と反粒子の対称性は $J$ と $\eta$ の代数的構造から生じる。
• ボソン的ラグランジアンは $\mathcal{L}_b = -8\rho q^2 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ となり、$\rho = 1/(32q^2)$ を設定することで物理的形 $-F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ が回復される。