[論文レビュー] Space-bounded quantum state testing via space-efficient quantum singular value transformation

François Le Gall, Yupan Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、量子状態テストを通じて、片側誤り（coRQL）および両側誤り（BQL）設定における自然で完全な問題を導入することにより、空間制限付き量子計算の新しい特徴付けを提示する。空間効率の良い量子特異値変換（QSVT）を導入し、トレース距離、ヒルベルト＝シュミット距離、エントロピー差の空間制限付き状態テストが、状態準備と同程度に容易であることを示す。対数空間Karp還元を用いて、トレース距離、ヒルベルト＝シュミット距離、エントロピー差の完全性およびタイトな複雑度境界を確立する。

ABSTRACT

Driven by exploring the power of quantum computation with a limited number of qubits, we present a novel complete characterization for space-bounded quantum computation, which encompasses settings with one-sided error (unitary coRQL) and two-sided error (BQL), approached from a quantum state testing perspective: - The first family of natural complete problems for unitary coRQL, i.e., space-bounded quantum state certification for trace distance and Hilbert-Schmidt distance; - A new family of natural complete problems for BQL, i.e., space-bounded quantum state testing for trace distance, Hilbert-Schmidt distance, and quantum entropy difference. In the space-bounded quantum state testing problem, we consider two logarithmic-qubit quantum circuits (devices) denoted as $Q_0$ and $Q_1$, which prepare quantum states $ρ_0$ and $ρ_1$, respectively, with access to their ``source code''. Our goal is to decide whether $ρ_0$ is $ε_1$-close to or $ε_2$-far from $ρ_1$ with respect to a specified distance-like measure. Interestingly, unlike time-bounded state testing problems, our results reveal that the space-bounded state testing problems all correspond to the same class. Moreover, our algorithms on the trace distance inspire an algorithmic Holevo-Helstrom measurement, implying QSZK is in QIP(2) with a quantum linear-space honest prover. Our results primarily build upon a space-efficient variant of the quantum singular value transformation (QSVT) introduced by Gilyén, Su, Low, and Wiebe (STOC 2019), which is of independent interest. Our technique provides a unified approach for designing space-bounded quantum algorithms. Specifically, we show that implementing QSVT for any bounded polynomial that approximates a piecewise-smooth function incurs only a constant overhead in terms of the space required for special forms of the projected unitary encoding.

研究の動機と目的

• 限られたキュービット数での空間制限付き量子計算の計算パワーを特徴付ける。
• 量子状態テストフレームワークにおける片側誤り（coRQL）および両側誤り（BQL）の自然で完全な問題を同定する。
• 量子状態テストを用いて、空間制限付き量子計算の複雑度特徴付けを統一的かつ簡素化する。
• トレース距離、ヒルベルト＝シュミット距離、エントロピー差の対数空間Karp還元を用いて、タイトな完全性結果を確立する。

提案手法

• 有界かつ区分的滑らか関数に対して、平均化されたチェビシェフ切断を用いた空間効率の良い量子特異値変換（QSVT）の変種を開発する。
• 空間効率の良いQSVTを、定数の空間オーバーヘッドでのみを伴う投影ユニタリ符号化に適用する。
• 平均化されたチェビシェフ切断による多項式近似を用いて、符号関数や正規化された対数関数などの関数のQSVTを実装する。
• 対数空間内で誤差が有界な状態を準備し、目的関数をシミュレートする量子回路を構築する。
• 対数空間Karp還元を用いて、状態テスト問題のBQLおよびcoRQL困難性を証明する。
• 関数の滑らかさを活用した誤差低減技術とノルムの境界を統合し、空間効率を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間制限付き量子計算における片側誤り（coRQL）の自然な完全問題は何か？
• RQ2 トレース距離、ヒルベルト＝シュミット距離、エントロピー差の空間制限付き量子状態テスト問題は、BQLとどのように関係するか？
• RQ3 区分的滑らか関数に対して、定数の空間オーバーヘッドでのみを伴う空間効率の良いQSVTを構築できるか？
• RQ4 空間制限付き設定において、これらの距離測度における量子状態テストは、状態準備と同程度に容易か？
• RQ5 異なる距離測度における空間制限付き量子状態テストの複雑度は何か？

主な発見

• CertQSDlogとCertQHSlogはcoRQLに対して完全であり、空間制限付き量子計算における自然な片側誤り問題を提供する。
• GapQSDlog、GapQHSlog、GapQEDlogはすべてBQLに属し、これらの測度における空間制限付き状態テストが状態準備と同程度に容易であることを示す。
• GapQSDlogはBQUL-hardであり、GapQJSlogとGapQEDlogもBQUL-hardである。これにより、タイトな複雑度境界が確立される。
• 空間効率の良いQSVT構成は、区分的滑らか関数の有界多項式近似に対して、定数のオーバーヘッドでのみを伴う。
• GapQSDlogからGapQJSlogおよびGapQEDlogへの還元は、これらの問題が対数空間Karp還元において完全であることを確認する。
• 結果として、空間制限付き状態テストは、時間制限付きの類似物とは異なり、状態準備と同等の計算的難易度であることが示された。