[論文レビュー] Space-Distribution PDEs for Path Independent Additive Functionals of McKean-Vlasov SDEs

Panpan Ren, Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|May 28, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、McKean-Vlasov SDEの加法的関数に対する経路独立性を特徴付けるために、標準的およびLionsの$L$-微分を含む、$mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 上の空間-分布PDEのクラスを確立する。この研究では、経路独立性が非線形PDEの解法と同値であることを証明し、確率的解法によって解を構成する。これは古典的なGirsanov変換結果を特別な場合として回復する。

ABSTRACT

Let P2(Rd) be the space of probability measures on Rd with finite second moment. The path independence of additive functionals of McKean-Vlasov SDEs is characterized by PDEs on the product space Rd*P2(Rd) equipped with the usual derivative in space variable and Lions derivative in distribution. These PDEs are solved by using probabilis- tic arguments developed from [2]. In particular, the path independence of the Girsanov transformation killing the drift term is identified with a nonlinear PDE on Rd*P2(Rd), which includes corresponding results derived earlier for the classical SDEs as special situations.

研究の動機と目的

• McKean-Vlasov SDEの加法的関数の経路独立性を、駆動項としての漂移と拡散項を含む設定で特徴づけること。
• これらのSDEに対するGirsanov変換が経路独立な密度を与える条件を特定すること。
• 標準的SDEにおける古典的経路独立性結果を、空間-分布PDEを用いた$\mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 上の設定に拡張すること。
• 経路独立性と空間的および分布的微分を含む非線形PDEの解との間の関係を確立すること。

提案手法

• 空間的微分と分布的Lionsの$L$-微分を含む、$\mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 上の経路独立性条件をPDEとして定式化する。
• 時間変更過程や条件付き分布上の期待値を用いた確率的議論により、PDEの解を構成する。
• 分布的設定におけるFeynman-Kac公式を適用し、解を終端関数の条件付き期待値として表現する。
• 漂移および拡散係数にリプシッツ型の条件が成り立つ場合に、McKean-Vlasov SDEの解の存在および一意性に依存する。
• 経路独立性と、$\partial_t + \mathbf{L}_{\sigma,b}$ および勾配の二次項を含む非線形PDEの可解性との同値性を確立する。
• $V = -\beta \log \tilde{V}$ などの変換技術を用いて、Girsanov測度変換の文脈で線形および非線形PDEの解を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 McKean-Vlasov SDEの加法的関数$A_{s,t}^{\mathbf{f},\mathbf{g}}$ が経路独立となる条件は何か？
• RQ2 空間的および分布的微分を含む、積空間$\mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 上のPDEを用いて、経路独立性をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 McKean-VlasovフレームワークにおけるGirsanov変換の経路独立性と非線形PDEの解との関係は何か？
• RQ4 標準的SDEにおける古典的経路独立性結果が、提案された枠組みの特別な場合としてどのように回復されるか？

主な発見

• 加法的関数$A_{s,t}^{\mathbf{f},\mathbf{g}}$ の経路独立性は、関数$V \in C^{1,2,(1,1)}([0,T] \times \mathbb{R}^d \times \mathscr{P}_2(\mathbb{R}^d))$ がPDE $(\partial_t + \mathbf{L}_{\sigma,b})V = -\frac{1}{2}|\sigma^* \partial_x V|^2 + \mathbf{f}$ を満たすことに同値である。
• PDEの解は、$V(t,x,\mu) = \mathbb{E}[\Phi(X_{t,T}^{x,\mu}, P_{t,T}^*\mu)] - \mathbb{E}\left[\int_t^T \mathbf{f}(r,X_{t,r}^{x,\mu}, P_{t,r}^*\mu) dr\right]$ を用いて確率的に構成される。
• 漂移項を消去するGirsanov変換が経路独立であるのは、$b(t,x,\mu) = \sigma(t,x,\mu)\sigma^*(t,x,\mu) \partial_x V(t,x,\mu)$ であるときであり、これは$\mathbf{f} = \frac{1}{2}|\sigma^* \partial_x V|^2$ を含む非線形PDEを解くことに相当する。
• 分布依存性が消える、すなわち$\mu = \delta_x$ の場合に、標準的SDEにおける古典的経路独立性結果が特別な場合として回復される。
• $\mathbf{f} = \frac{1}{2}|\mathbf{g}|^2$ の場合、関数$A_{s,t}^{\mathbf{g}}$ の経路独立性はPDE $\partial_t V + \mathbf{L}_{\sigma,b} V = \frac{1}{2}|\sigma^* \partial_x V|^2$ の解法に同値である。
• $V = -\beta \log \tilde{V}$ の変換により、非線形PDEは線形PDE $\partial_t \tilde{V} + \mathbf{L}_{\sigma,b} \tilde{V} = 0$ に変換され、確率的解表現が可能になる。