[論文レビュー] Space Quasi-Periodic Standing Waves for Nonlinear Schrödinger Equations

W.-M. Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2018

Nonlinear Photonic Systems参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、KAM型反復スキームを用いて、非線形シュレーディンガー方程式 $¹\mathbb{R}^d$ 上における空間準周期的定常波解の存在を確立する。小振幅解が線形一般化固有関数から分岐する場合、周波数パラメータ $µ\lambda$ の正の測度を有する集合に対して、このような解が存在することを示し、非線形周波数は $\mathcal{O}(|a|^{2p})$ で補正され、解自体は $\mathcal{O}(|a|^p)$ で摂動を受ける。この結果は任意次元で有効である。

ABSTRACT

We construct space quasi-periodic standing wave solutions to the nonlinear Schrödinger equations on R^d for arbitrary d. This is a type of quasi-periodic nonlinear Bloch-Floquet waves.

研究の動機と目的

• 非線形シュレーディンガー方程式（NLS）の $\\mathbb{R}^d$ 上での、非自明な時間・空間にわたる非減衰的空間準周期的解を構成すること。
• 特に、非コンパクトな $\mathbb{R}^d$ の設定において、周期的または局在的でない設定に拡張して、このような解の存在を示すこと。
• 線形シュレーディンガー作用素のすべての小振幅偶関数一般化固有関数が、適切な周波数パラメータ $\lambda_k$ 条件のもとで非線形方程式の解に分岐することを確立すること。
• KAM型反復スキームを用いて、許容可能な $\lambda$ パラメータの集合を測度論的に厳密に構成し、空間に準周期的で時間に周期的な解を得ること。

提案手法

• NLSの定常波アンザッツ $U(t,x) = e^{-iEt}u(x)$ から導かれる非線形楕円型方程式 $-\Delta u - |u|^{2p}u = Eu$ を、KAM型反復スキームで解く。
• Newton型反復を用いて、$x_k$ における空間準周期的コサイン級数としての解を構成し、周波数 $\lambda_k \in (1/2, 3/12)^2$ および $j_k \in \mathbb{Z}^2$ を取り、ディオファントス型条件により共鳴を避ける。
• パラメータ空間における入れ子のカントール型集合 $\Lambda_r$ の列を用い、$|a|$ が小さいときの測度推定 $\text{meas }\Lambda \geq 1 - |a|^{p/6}$ を得て、反復の収束を保証する。
• 有限体積作用素 $T_M$ における逆作用素の推定と、逆核の指数的減衰推定を用いて非線形項を制御する。
• 線形化作用素の逆作用素に対する点付き減衰推定を用い、各段階でパラメータ $\alpha$ と $\delta$ を調整して摂動下でも制御を維持する。
• 段階的反復の各段階で、解列が要求される減衰性、正則性、微分有界性を満たすことをブートストラップ法で確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形シュレーディンガー方程式 $\mathbb{R}^d$ 上に、空間に減衰性や周期性のない空間準周期的定常波解が存在しうるか？
• RQ2 線形シュレーディンガー作用素のすべての小振幅偶関数一般化固有関数が、周波数パラメータ $\lambda$ の正の測度を有する集合に対して非線形方程式の解に分岐するか？
• RQ3 標準的なコンパクト性や周期性の仮定が成り立たない非コンパクトな $\mathbb{R}^d$ の設定において、KAM型反復法をどのように変形してこのような解を構成できるか？
• RQ4 このような解が存在する周波数パラメータ $\lambda$ の集合の測度は何か？また、振幅 $a$ にどのように依存するか？
• RQ5 非線形固有値 $E$ は $\lambda$ に依存するか？その依存性は滑らかか？

主な発見

• 小振幅線形解 $\tilde{U} = a e^{-i(\tilde{j} \cdot \lambda)^2 t} \prod_{k=1}^d \cos(\tilde{j}_k \cdot \lambda_k x_k)$ の各々に対して、同じ空間的準周期的構造を持つ非線形解 $U$ が存在し、それから分岐する。
• 解 $U(t,x)$ は $e^{-i[(\tilde{j} \cdot \lambda)^2 + \mathcal{O}(|a|^{2p})]t} \left[ a \prod_{k=1}^d \cos(\tilde{j}_k \cdot \lambda_k x_k) + \mathcal{O}(|a|^p) \right]$ の形を取り、振幅と周波数に小さな補正が加わっていることを示している。
• 許容可能な $\lambda$ パラメータの集合 $\Lambda$ は、測度に関して $\text{meas }\Lambda \geq 1 - |a|^{p/6}$ を満たし、$|a|$ が小さいとき正の測度を有するカントール型集合である。
• 非線形固有値 $E$ は $(1/2, 3/12)^{2d}$ 上で $\lambda$ に関して $C^1$ であり、周波数パラメータに滑らかに依存することが示された。
• この構成は任意次元 $d$ で有効であり、同じ証明構造を用いて高次元の $\lambda_k$ に対しても拡張可能である。
• 解は時間に周期的（1つの基本周波数）、空間に準周期的であり、時間に全域的に定義されており、局在性や元々の並進対称性は必要としない。