[論文レビュー] Space-time and special relativity from causal networks

Giacomo Mauro D’Ariano, Alessandro Tosini|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2010

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、因果的ネットワーク（CN）としての離散的で因果的に接続された出来事のネットワークから、位相的均一性と出来事数え上げのみを用いてローレンツ変換およびミンコフスキー時空幾何学を導出する。主な結果は、特殊相対性理論がネットワークの因果的構造から自然に生じることであり、座標写像による出来事数の比に基づいてローレンツ変換が回復されることで、時空幾何学が因果的接続性に根ざしていることが確認される。

ABSTRACT

We show how the Minkowskian space-time emerges from a topologically homogeneous causal network, presenting a simple analytical derivation of the Lorentz transformations, with metric as pure event-counting. The derivation holds generally for d=1 space dimension, however, it can be extended to d>1 for special causal networks.

研究の動機と目的

• ミンコフスキー時空および特殊相対性理論が、時空を事前仮定せず、離散的かつ位相的に均一な因果的ネットワークから生じることを示すこと。
• ローレンツ変換が公理からではなく、純粋に出来事数え上げと因果的位相から生じることを示すこと。
• 時空が背景ではなく、離散的出来事間の因果的関係から導かれる構造であることを確立すること。
• 1次元の導出を、埋め込み可能な因果的ネットワークに対して高次元に一般化すること。

提案手法

• 因果的ネットワーク（CN）は、部分順序によって出来事とそれらの因果的関係を表す、局所的に有限で有向無閉路グラフとしてモデル化される。
• 時空座標は、異なる観測者フレームにおける因果的鎖に沿った出来事数との関係を示す座標写像 K を用いて割り当てられる。
• フレーム間の変換は、異なる断片化における出来事数を関係付ける行列 D^{12} = diag(α^{12}, β^{12}) を用いて導出される。
• 速度パラメータ v^{12} は (α^{12} - β^{12})/(α^{12} + β^{12}) として定義され、これにより出来事数え上げの比と直接的に関連づけられる。
• ローレンツ変換は、乗法的要因 χ_{12} を除去する座標再定義を用いることで、スケーリング因子を除き、標準形に回復される。
• 変換行列の行列積から代数的に速度合成則が導出され、相対論的加法則が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空を事前仮定せず、離散的因果的ネットワークからミンコフスキー時空およびローレンツ変換が生じるか？
• RQ2 因果的ネットワークの位相的均一性が相対性原理を強制し、ローレンツ不変性を導く仕組みは何か？
• RQ3 出来事数え上げが、離散的因果的構造における時空座標および相対速度を定義する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ4 特殊相対性理論の速度合成則が、因果的ネットワーク変換から純粋に導出可能か？
• RQ5 因果的ネットワークから得られる1次元の特殊相対性理論の導出を、高次元時空に拡張可能か？

主な発見

• ローレンツ変換は、時空幾何学を事前仮定せず、出来事数え上げと位相的均一性のみを用いて因果的ネットワークから導出可能である。
• 観測者間の相対速度は、ネットワーク内の出来事数え上げ比から直接得られる v^{12} = (α^{12} - β^{12})/(α^{12} + β^{12}) として表される。
• 速度合成則 v^{13} = (v^{12} + v^{23})/(1 + v^{12}v^{23}) は、変換行列の行列積から代数的に導出可能である。
• 乗法的因子 χ_{12} = √(α^{12}β^{12}) を除去する座標再定義により、標準形のローレンツ変換が回復される。
• この導出は d=1 次元空間に対して成り立ち、ダイヤモンド格子など d+1 次元に埋め込める因果的ネットワークに対して d>1 へ拡張可能である。
• ミンコフスキー計量は、追加の幾何的公理を仮定せず、純粋に出来事数え上げの結果として生じる。