[論文レビュー] Space-Time as an Orderparameter Manifold in Random Networks and the Emergence of Physical Points

Manfred Requardt|ArXiv.org|Feb 11, 1999

Quantum Mechanics and Applications参考文献 22被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、動的セルオートマトンの離散的で確率的なネットワークにおいて、物質的点が密にエンタングルされた部分複合体として現れることで、マクロな時空が秩序パラメータ多様体として出現することを提案する。結合性指標とネットワーク位相から、因果構造と連続的幾何学的性質が、根本的に離散的かつ揺らぎのある基盤から自己組織的に生じることを示し、量子非局所性と古典的時空因果性を統合する枠組みを提供する。

ABSTRACT

In the following we are going to describe how macroscopic space-time is supposed to emerge as an orderparameter manifold or superstructure floating in a stochastic discrete network structure. As in preceeding work (mentioned below), our analysis is based on the working philosophy that both physics and the corresponding mathematics have to be genuinely discrete on the primordial (Planck scale) level. This strategy is concretely implemented in the form of cellular networks and random graphs. One of our main themes is the development of the concept of physical (proto)points as densely entangled subcomplexes of the network and their respective web, establishing something like (proto)causality. It max perhaps be said that certain parts of our programme are realisations of some old and qualitative ideas of Menger and more recent ones sketched by Smolin a couple of years ago. We briefly indicate how this two-story-concept of space-time can be used to encode the (at least in our view) existing non-local aspects of quantum theory without violating macroscopic space-time causality!

研究の動機と目的

• セルオートマトンの動的でランダムなネットワークとして、離散的基盤を用いて時空と量子力学を生成現象としてモデル化すること。
• 物理的（原始的）点を、ネットワーク内の高密度にエンタングルされた部分複合体として定義し、原始的因果構造を生じさせること。
• 不規則でランダムなネットワークにおける離散的幾何学と解析の数学的枠組みを確立し、フラクタル幾何学および非可換幾何学と結びつけること。
• ネットワークの位相的・動的構造を通じて、マクロな時空因果性を損なわずに量子非局所性を符号化できることを示すこと。
• 初期段階の離散的かつ組み合わせ的基盤から連続的時空がどのように出現するかのメカニズムを提供すること。

提案手法

• ノードが離散的な内部状態を持ち、局所的条件に従って結合が動的に生成または消滅する動的セルラーネットワークとして時空をモデル化すること。
• 結合性指標 $ c_{AB} = |A\sim B| / |A\sim B|_m $ を用いて、内部結合性が高く隣接するグレインと強く結合する部分複合体（mss）として物理的点を定義すること。
• 結合性指標を用いて、中心グレイン $ S_0 $ の周囲に階層的なシェル構造を定義し、連続するシェルで結合性が低下することを示すこと。
• ランダムグラフ理論および統計力学の概念を適用し、このようなネットワークが大スケールで自然に正則性と並進不変性に類似した性質を示すことの証明。
• クリークの交差からスーパーグラフ $ ST $ を構築し、接続性の低下に一致するトポロジカル近傍構造を定義すること。
• ネットワークの内在的幾何学を物理的距離および次元性と結びつけ、空間的およびメトリック的概念が結合性パターンから出現することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 根本的に離散的かつ確率的なノードと結合のネットワークから、マクロな時空が秩序パラメータ多様体としてどのように出現するのか。
• RQ2 離散的ネットワークにおける物理的（原始的）点は何か、そしてそれがどのように原始的因果構造を生じさせるのか。
• RQ3 量子非局所性は、マクロな時空因果性を損なわずに、どのように離散的ネットワークに符号化できるのか。
• RQ4 どのようなネットワークダイナミクスが、連続的幾何学的性質およびトポロジーを示す相へ向かって系を駆り立てるのか。
• RQ5 結合性指標およびグラフ理論的構造は、離散系における内在的幾何学的および次元的概念とどのように関係するのか。

主な発見

• 物理的点は、高い内部結合性と隣接グレインとの強い結合性を示す、ネットワーク内の密にエンタングルされた部分複合体として出現し、原始的因果性の基盤を形成する。
• 結合性指標 $ c_{AB} = |A\sim B| / |A\sim B|_m $ は、部分グラフ間の動的結合の強さを定量化し、空間的近接性の代理として機能する。
• 大スケール極限において、ランダムネットワークは驚くべき正則性を示し、ピークを持つノード次数分布と、並進不変性に類似した自己組織的構造を有する。
• 中心グレイン $ S_0 $ の周囲に階層的シェル構造が形成され、$ c_{S_0 S^0_\nu} \lesssim 1 $ から始まり、連続するシェルで結合性が低下する。
• 結合性およびクリークの交差を介して定義されるネットワークの内在的幾何学は、時空の出現に関するトポロジカルおよびメトリック的図像と整合的である。
• ネットワークのグローバルなエンタングルメント構造に非局所相関を埋め込むことで、マクロな時空因果性を損なわず、量子非局所性を符号化可能な枠組みが得られる。