[論文レビュー] Space-time discontinuous Galerkin approximation of acoustic waves with point singularities

Pratyuksh Bansal, Andrea Moiola+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 45被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、角部または多相材料界面に起因する点特異性を有する2次元多角形領域における線形音響波動方程式に対して、空間–時間不連続ガレルキン（DG）法を提案する。局所的空間メッシュの粗さを用いることで最適収束率を確立し、新規のスパーステンソル空間–時間DGスキームを導入することで、特異性が存在する中でも、最良の収束率を達成しつつ、細かいグリッド上での1つの楕円型問題の解法と同程度の計算量で実現する。

ABSTRACT

We develop a convergence theory of space-time discretizations for the linear, 2nd-order wave equation in polygonal domains $\Omega\subset\mathbb{R}^2$, possibly occupied by piecewise homogeneous media with different propagation speeds. Building on an unconditionally stable space-time DG formulation developed in [Moiola, Perugia 2018], we (a) prove optimal convergence rates for the space-time scheme with local isotropic corner mesh refinement on the spatial domain, and (b) demonstrate numerically optimal convergence rates of a suitable \emph{sparse} space-time version of the DG scheme. The latter scheme is based on the so-called \emph{combination formula}, in conjunction with a family of anisotropic space-time DG-discretizations. It results in optimal-order convergent schemes, also in domains with corners, with a number of degrees of freedom that scales essentially like the DG solution of one stationary elliptic problem in $\Omega$ on the finest spatial grid. Numerical experiments for both smooth and singular solutions support convergence rate optimality on spatially refined meshes of the full and sparse space-time DG schemes.

研究の動機と目的

• 多角形領域における点特異性を有する波動方程式における最適収束の課題に取り組む。
• 任意の時間刻みと空間刻みの条件下でも安定である空間–時間DG弱形式を構築し、局所的メッシュの細分化に対しても有効であることを保証する。
• 全テンソルスキームに比べて自由度を著しく削減しつつも、最適収束を維持するスパーステンソル空間–時間DGスキームを設計する。
• 錐特異性を有する解の正則性を表すために、コンドラティエフ型の角重み付きソボレフ空間における収束率の上限を確立する。
• 特異的および滑らかな状態の両方において、全スパース空間–時間DGスキームの数値的最適収束を実証する。

提案手法

• 先行研究[32]の未定義な空間–時間DG変分形式を用い、2階波動方程式に対して、絶対的に安定な空間–時間DG弱形式を採用する。
• 点特異性を解像するため、空間的角部および多相材料界面に沿って局所的等方的メッシュ細分化を適用する。
• 非滑らかな領域における解の正則性をモデル化するために、コンドラティエフ型の角重み付きソボレフ空間を用いる。
• 時間刻みと空間刻みが異なる複数のDG解に組み合わせ公式を適用することで、スパーステンソル空間–時間DGスキームを提案する。
• 特異性付近での空間的・時間的解像度をバランスさせるために、非等方的空間–時間DG離散化とグレーディングメッシュを用いる。
• 絶対的安定性を活用し、組み合わせ公式においてCFL条件を超過する時間刻みと空間刻みの組み合わせを許容する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元多角形領域における点特異性を有する空間–時間DGスキームで、最適収束率を達成できるか？
• RQ2 角部または界面に沿った局所的空間メッシュの粗さが、解の正則性が低下しても最適収束を回復できるか？
• RQ3 全テンソルバージョンに比べて自由度を著しく削減しつつも、スパーステンソル空間–時間DGスキームが最適収束を達成できるか？
• RQ4 時間刻みと空間刻みが異なる空間–時間DGスキームに組み合わせ公式を適用した場合、特に特異性が存在する状況でどのように性能を示すか？
• RQ5 スパース空間–時間DGスキームの漸近的計算量は、細かいグリッド上での1つの楕円型問題の解法と比較してどの程度か？

主な発見

• 角部に向かって局所的等方的メッシュ粗さを適用した全テンソル空間–時間DGスキームに対して、収束率 $ O(h^p) $ の最適収束率が証明された。
• スパーステンソル空間–時間DGスキームは、自由度数 $ M_L $ を用いて収束率 $ O(M_L^{-p}) $ を達成し、計算量は細かい空間グリッド上での1つの楕円型問題の解法と同等のスケーリングを示した。
• 数値実験により、滑らかでない解および滑らかな解の両方において最適収束率が確認され、相対誤差が1%未満の範囲ではスパーススキームが全テンソルバージョンを上回る誤差/自由度比を達成した。
• 組み合わせ公式により、CFL条件を超過する時間刻みと空間刻みの組み合わせでも最適収束が達成可能であり、これは基礎となるDGスキームの絶対的安定性のおかげである。
• 多項式次数 $ p = 2 $ の場合、スパーススキームは収束率 $ O(M_L^{-1.5}) $ を達成した一方で、全テンソルスキームは $ O(M_L^{-1}) $ を達成した。これは、スパーススキームの優れた効率性を示している。
• 本手法は、局所的に均一な媒質にも拡張可能であり、係数が局所的に定数である場合にはセル寄与項の正確な評価が可能である。