[論文レビュー] Space-time Euler discretization schemes for the stochastic 2D Navier-Stokes equations

Hakima Bessaih, Annie Millet|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、トーラス上での確率的2次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、implicit時間Eulerスキームと有限要素空間離散化を組み合わせた場合に、$L^2(\Omega)$における強い収束性を確立する。解の指数モーメント推定と局所化された収束解析を活用することで、加法的ノイズ下で多項式収束速度が得られ、従来の確率的収束しか示されていなかった結果を改善する。

ABSTRACT

We prove that the implicit time Euler scheme coupled with finite elements space discretization for the 2D Navier-Stokes equations on the torus subject to a random perturbation converges in $L^2(\\Omega)$, and describe the rate of convergence for an $H^1$-valued initial condition. This refines previous results which only established the convergence in probability of these numerical approximations. Using exponential moment estimates of the solution of the stochastic Navier-Stokes equations and convergence of a localized scheme, we can prove strong convergence of this space-time approximation. The speed of the $L^2(\\Omega)$-convergence depends on the diffusion coefficient and on the viscosity parameter. In case of Scott-Vogelius mixed elements and for an additive noise, the convergence is polynomial.

研究の動機と目的

• 確率的2次元ナビエ＝ストークス方程式の時空数値スキームに対して、$L^2(\Omega)$における強い収束性を確立し、従来の収束確率性に起因する制限を克服する。
• 加法的ノイズ下で、完全にimplicitな時間Eulerスキームと有限要素空間離散化の組み合わせによる、明示的な多項式収束速度を導出する。
• 解の指数モーメント推定を、$V$-ノルムにおいて指数モーメントを持つ確率的初期条件へと拡張し、より強い収束解析を可能にする。
• 特にScott-Vogelius有限要素法を用いることで、混合有限要素法における離散LBB条件を満たし、離散設定における安定性を保証する。
• 非線形項の局所化と大確率集合上での高階ノルムの制御により、収束解析を精緻化する。

提案手法

• 時間ステップ $\frac{T}{N}$ を一定としてimplicit時間Eulerスキームを用い、空間離散化にパrameter $h$ を用いた有限要素法により、確率的2次元ナビエ＝ストークス方程式を近似する。
• 非線形項の制御のための局所化技術を適用し、確率的設定下でグローヴァルの補題を適用可能にする。これにより、$L^2(\Omega)$収束性を導出する。
• 解 $u$ と時間離散化スキーム $\mathbf{u}^l$ に対する指数モーメント推定を、伊藤の公式と適切に選ばれた共役指数を用いたホルダーの不等式により導出する。
• 時間離散化スキーム $\mathbf{u}^l$ の $W^{1,2}$-ノルムが有界である集合 $\tilde{\Omega}_l(M)$ 上で局所化された収束解析を実施し、$L^2(\Omega)$-意味での誤差を制御する。
• 混合有限要素法としてScott-Vogelius法を採用し、離散インフラス条件を満たすことで、速度・圧力近似の安定性を保証する。
• 加法的ノイズ下では、解が指数モーメントを持つことが分かっており、これは強い収束性の証明と明示的な多項式収束速度の導出に不可欠である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 implicit時間Eulerスキームと有限要素空間離散化を組み合わせた場合、確率的2次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、$L^2(\Omega)$における強い収束性が達成可能か？
• RQ2 $H^1$-値初期条件下で、この時空スキームの $L^2(\Omega)$ 収束速度は何か？
• RQ3 解とスキームの指数モーメント推定は、非線形性が存在する状況下で強い収束性を証明するためにどのように寄与するか？
• RQ4 拡散係数と粘性係数は、$L^2(\Omega)$-ノルムにおける収束速度にどのような影響を及えるか？
• RQ5 加法的ノイズ下でScott-Vogelius混合有限要素法を用いた場合、収束速度を明示的に定量化できるか？

主な発見

• 時空離散化スキームは、$H^1$-値初期条件を持つ場合に、確率的2次元ナビエ＝ストークス方程式に対して $L^2(\Omega)$ における強い収束性を達成する。
• 加法的ノイズとScott-Vogelius混合有限要素法の下では、収束速度は時間ステップ $\frac{T}{N}$ と空間パラメータ $h$ に対して多項式的である。
• 解 $\|u(t)\|_V^2$ と時間離散化スキーム $\|\mathbf{u}^l\|_V^2$ に対する指数モーメント推定が確立され、収束証明におけるホルダーの不等式の適用を可能にする。
• 収束速度は粘性係数 $\nu$、拡散係数 $K_0$、ウィーナー過程の共分散演算子 $Q$ のトレースに依存する。
• $V$-ノルムにおいて指数モーメントを持つ確率的初期条件に対しては、パrameter $\alpha < \tilde{\beta}_0 = \tilde{\alpha}_0 \frac{\gamma_0}{\gamma_0 + \tilde{\alpha}_0}$ の条件下で、離散解の指数モーメントが有界に保たれる。
• 証明は、時間離散化解の $W^{1,2}$-ノルムが制御可能な大確率集合上で局所化された誤差推定に依存しており、非線形な文脈下でもグローヴァルの補題の適用が可能になる。