[論文レビュー] Space-time foam in 2D and the sum over topologies

R. Loll, W. Westra|ArXiv.org|Aug 31, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、因果性を保つようにトポロジー変化の幾何を制限することにより、トポロジーの和を含む明確に定義された2次元ローレンツ量子重力モデルを構築する。ローレンツ型ランダムトライアングレーションと因果性制約を用いることで、経路積分は収束し、二重スケーリング極限をとることで、有限で再正則化された分配関数と、最大の重力結合定数における相転移を示す、非摂動的時空フォーム理論が得られる。

ABSTRACT

It is well-known that the sum over topologies in quantum gravity is ill-defined, due to a super-exponential growth of the number of geometries as a function of the space-time volume, leading to a badly divergent gravitational path integral. Not even in dimension 2, where a non-perturbative quantum gravity theory can be constructed explicitly from a (regularized) path integral, has this problem found a satisfactory solution. -- In the present work, we extend a previous 2d Lorentzian path integral, regulated in terms of Lorentzian random triangulations, to include space-times with an arbitrary number of handles. We show that after the imposition of physically motivated causality constraints, the combined sum over geometries and topologies is well-defined and possesses a continuum limit which yields a concrete model of space-time foam in two dimensions.

研究の動機と目的

• 量子重力におけるトポロジーの和の定義が不十分である問題を解決する。これは、幾何の階乗的増加に起因する超指数的発散に起因する。
• 因果性を保ちつつトポロジー変化を含む非摂動的2次元量子重力理論を構築すること。
• 因果性制約が発散する配置を排除し、連続的極限を持つ良好に振る舞う経路積分をもたらすことを示すこと。
• 有限で再正則化された分配関数をもつ二重スケーリング極限を確立し、2次元における時空フォームの明確なモデルを提供すること。
• 特に、時空内のベビーウニバース（穴）による光線の散乱を含む、トポロジー変化の物理的意味を明らかにすること。

提案手法

• 1+1次元時空を離散化するため、ローレンツ型ランダムトライアングレーションを用い、グローバルに定義された固有時刻と因果的構造を保証する。
• グローバル因果性を破るトポロジー変化の幾何を除外する因果性制約を課し、孤立した短時間の穴（1時間ステップの持続時間）のみを許容する。
• 任意の genus と因果的構造を持つすべてのトライアングレーテッドローレンツ時空の和をとることで、幾何とトポロジー（genus g）の状態和を構築する。
• 1ステップ進化作用素から導かれる母関数と再帰関係を用いて、このようなすべての配置の正確な和をとる。
• 宇宙定数 Λ と重力結合定数 G を臨界値に調整し、格子間隔 a を再スケーリングすることで、二重スケーリング極限を適用する。
• 対数的減算による結合定数の再正則化により、連続極限で有限で再正則化された分配関数 Z^R(Λ, G) を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元量子重力におけるトポロジーの和は、幾何の階乗的増加に起因する発散があるにもかかわらず、数学的に定義可能だろうか？
• RQ2 因果性制約は、ローレンツ経路積分におけるトポロジー変化時空の含め方にどのように影響を与えるか？
• RQ3 任意の genus（穴）を含めることで、2次元ローレンツ量子重力モデルにおいて有限で非摂動的な分配関数が得られるだろうか？
• RQ4 この理論の物理的解釈は、光線の散乱といった観測可能な効果としてどのように解釈できるか？
• RQ5 有限で明確な連続理論が得られる二重スケーリング極限を定義できるだろうか？その理論は重力結合定数に非自明に依存するか？

主な発見

• 因果性制約により、大規模な因果性違反を伴う配置が除外され、エントロピーにおける階乗的発散が排除され、トポロジーの和が有限化される。
• 分配関数は、連続極限で有限で再正則化された分配関数 Z^R(Λ, G) = (1/a²) * (1/4Λ) * (1 - √(1 - 4e^(-2/G))) を与える二重スケーリング極限をもつ。
• 時空体積の期待値は ⟨V⟩ = 1/Λ であり、これは宇宙定数が全体スケールを決定することを示している。
• 1時間ステップあたりの穴の平均数は ⟨g⟩ = -½(1 - 1/√(1 - 4e^(-2/G))) であり、G とともに増加し、G = 2/log 4 で発散する。これは相転移を示唆する。
• このモデルは非局所的観測可能な効果を示す：穴によって散乱する光ビームの割合は ⟨g⟩ × (T/L) に比例し、トポロジーと測定可能な物理を結びつける。
• G が小さいとき、理論は穴のない標準的な2次元ローレンツ量子重力に還元される。G が大きいとき、トポロジー変化が顕著になり、明確な時空フォームのモデルが実現される。