[論文レビュー] Space-time least-squares Petrov-Galerkin projection for nonlinear model reduction

Youngsoo Choi, Kevin Carlberg|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 36被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、非線形モデル還元のための空間時間最小二乗ガレルキン・ガレルキン（ST-LSPG）射影法を提案する。この手法は、低次元の空間時間試行部分空間上で重み付き ℓ²-ノルムにおける離散的空間時間残差を最小化することにより、空間的および時間的次元を同時に低減する。この方法は、空間射影に基づくROMと比較して、計算速度が数個のオーダー向上する一方で、精度を維持し、時間に伴う誤差増大が二次未満の成長を示す改善された誤差境界を提供する。

ABSTRACT

This work proposes a space-time least-squares Petrov-Galerkin (ST-LSPG) projection method for model reduction of nonlinear dynamical systems. In contrast to typical nonlinear model-reduction methods that first apply (Petrov-)Galerkin projection in the spatial dimension and subsequently apply time integration to numerically resolve the resulting low-dimensional dynamical system, the proposed method applies projection in space and time simultaneously. To accomplish this, the method first introduces a low-dimensional space-time trial subspace, which can be obtained by computing tensor decompositions of state-snapshot data. The method then computes discrete-optimal approximations in this space-time trial subspace by minimizing the residual arising after time discretization over all space and time in a weighted $\ell^2$-norm. This norm can be defined to enable complexity reduction (i.e., hyper-reduction) in time, which leads to space-time collocation and space-time GNAT variants of the ST-LSPG method. Advantages of the approach relative to typical spatial-projection-based nonlinear model reduction methods such as Galerkin projection and least-squares Petrov-Galerkin projection include: (1) a reduction of both the spatial and temporal dimensions of the dynamical system, (2) the removal of spurious temporal modes (e.g., unstable growth) from the state space, and (3) error bounds that exhibit slower growth in time. Numerical examples performed on model problems in fluid dynamics demonstrate the ability of the method to generate orders-of-magnitude computational savings relative to spatial-projection-based reduced-order models without sacrificing accuracy.

研究の動機と目的

• 非線形低次元モデル（ROM）における時間的次元の高さによるボトルネックを解消し、計算の節約を可能にするとともに、認証の複雑さを軽減すること。
• ガレルキン法やLSPG法などの空間射影に基づくROMに一般的に見られる時間に伴う指数的誤差増大を克服すること。
• 空間的および時間的次元を同時に低減しつつ、精度と安定性を維持するモデル還元フレームワークの開発。
• 特に流体力学および構造力学分野において、効率的で認証可能かつリアルタイムの長時間非線形力学的システムのシミュレーションを可能にすること。
• ハイパーリダクションと空間時間コロケーションを統合し、精度を損なわずに計算複雑性を低減すること。

提案手法

• 訓練シミュレーションからの状態スナップショットデータのテンソル分解を用いて、低次元の空間時間試行部分空間を構築する。
• ST-LSPG法を、空間時間試行部分空間上で重み付き ℓ²-ノルムにおける離散的空間時間残差の最小二乗問題として定式化する。
• 残差の評価コストを低減するためのハイパーリダクション技術を適用し、時間に伴う複雑性の低減を実現する。
• 適切なサンプリング戦略と残差基底の構築を定義することで、空間時間コロケーションおよび近似テンソルを用いたガウス＝ニュートン法（GNAT）の変種を導出する。
• テンソルベースの手法を用いて、1回の訓練シミュレーションから複数の空間時間基底ベクトルを抽出し、近似効率を向上させる。
• 空間時間残差基底とサンプリング行列を用いて、予測から得られる初期推定値を用いたガウス＝ニュートン反復により、非線形最小二乗問題を効率的に解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的な空間射影手法と比較して、同時に空間と時間の射影を施すことで、空間的および時間的次元をより効果的に低減できるか？
• RQ2 ST-LSPG法は、標準的なROMと比較して、時間に伴う誤差境界がよりゆっくり成長する事前誤差境界を有するか？
• RQ3 ハイパーリダクションは、空間時間文脈において計算複雑性を低減するために効果的に適用可能か？
• RQ4 LSPG や GNAT などの空間射影に基づくROMと比較して、ST-LSPGの精度および計算速度の性能はどの程度か？
• RQ5 異なる時間積分法および適応的時間ステップサイズが、ST-LSPGの性能に与える影響は何か？

主な発見

• ST-LSPG法は、流体力学的問題において、空間射影に基づくROM（LSPG や GNAT など）と比較して、計算速度が数個のオーダー向上する。
• この手法は空間的および時間的次元を両方低減でき、長時間非線形力学的システムの効率的シミュレーションを可能にする。
• 時間に伴う誤差増大が二次未満の成長を示す、事前誤差境界が導出された。これは、長時間安定性の向上を示している。
• ST-LSPG-2 および ST-GNAT の変種は、準1次元Euler方程式において、相対的な壁時計時間で最小0.01（FOMコストの1%）を達成し、相対誤差は10⁻³未満に保たれた。
• 訓練データセット外のパrameter値に対しても、精度が維持されるため、ロバストネスと一般化能力が示された。
• テンソル分解の使用により、1回の訓練シミュレーションから効率的な空間時間試行部分空間が構築可能であり、1回のシミュレーションから複数の基底ベクトルを抽出できる。