[論文レビュー] Spaces of closed subgroups of locally compact groups

Pierre de la Harpe|ArXiv.org|Jul 13, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、局所コンpakト群の閉部分群の空間を、コンパクト化するためのChabauty位相に注目して研究する。3次元ヘイゼンベルク群Hに対して、閉部分群の空間𝒞(H)が6次元の特異的空間であることを証明し、格子の空間ℒₙ(H)が同相的にℝ² ⋊ GL₂(ℝ) / ℤ² ⋊ GL₂(ℤ)という同調空間に写ることを示し、その前線が明示的な軌道閉包部分空間に分解されることを示している。

ABSTRACT

The set $\Cal C(G)$ of closed subgroups of a locally compact group $G$ has a natural topology which makes it a compact space. This topology has been defined in various contexts by Vietoris, Chabauty, Fell, Thurston, Gromov, Grigorchuk, and many others. The purpose of the talk was to describe the space $\Cal C(G)$ first for a few elementary examples, then for $G$ the complex plane, in which case $\Cal C(G)$ is a 4--sphere (a result of Hubbard and Pourezza), and finally for the 3--dimensional Heisenberg group $H$, in which case $\Cal C(H)$ is a 6--dimensional singular space recently investigated by Martin Bridson, Victor Kleptsyn and the author \cite{BrHK}. These are slightly expanded notes prepared for a talk given at several places: the Kortrijk workshop on {\it Discrete Groups and Geometric Structures, with Applications III,} May 26--30, 2008; the {\it Tripode 14,} École Normale Supérieure de Lyon, June 13, 2008; and seminars at the EPFL, Lausanne, and in the Université de Rennes 1. The notes do not contain any other result than those in \cite{BrHK}, and are not intended for publication.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群の閉部分群の空間の位相的構造をChabauty位相を用いて分析すること。
• 3次元ヘイゼンベルク群Hの閉部分群の空間の幾何学的・位相的性質を特定すること。
• Aut(H)による作用の下での軌道閉包部分空間としてℒₙ(H)の前線を記述すること。
• ℒₙ(H)の空間が同相的にℝ² ⋊ GL₂(ℝ) / ℤ² ⋊ GL₂(ℤ)という同調空間に写ることを確立すること。

提案手法

• 局所コンパクト群Gの閉部分集合の空間にChabauty位相を定義し、コンパクト集合と開集合を用いる。
• Chabauty–Fell位相を閉部分群の空間𝒞(G)に適用し、局所コンパクトGに対してそれがコンパクトかつハウスドルフであることを示す。
• ヘイゼンベルク群Hにおける格子の空間ℒₙ(H)を、自己同型群Aut(H) ≅ ℝ² ⋊ GL₂(ℝ)を離散部分群ℤ² ⋊ GL₂(ℤ)で割った商として分析する。
• ℒₙ(H)の前線を、異なる種類の閉部分群に対応する部分空間の和集合として特定し、特にAut(H)-軌道閉包𝒜(H)を含む。
• Bridson, de la Harpe, Kleptsyn [BrHK]の結果を用い、前線を9つの異なる部分空間(i)–(ix)に分解する。各部分空間はAut(H)-軌道の有限和集合である。
• ℒ(H)が𝒞(H)において開かつ稠密であることから、ℒₙ(H)と前線成分が𝒞(H)の分割をなすことを根拠とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元ヘイゼンベルク群Hの閉部分群の空間がChabauty位相のもとでどのような位相的構造を持つのか。
• RQ2 ヘイゼンベルク群Hにおける格子の空間ℒₙ(H)は自己同型群Aut(H)とどのように関係しているか。
• RQ3 ℒₙ(H)の前線の分解は何か。また、その成分はAut(H)-軌道とどのように関係しているか。
• RQ4 ℒₙ(H)の空間が同調空間に同相であるか。もしそうなら、どの同調空間か。
• RQ5 ℒₙ(H)の前線における部分空間(i)–(ix)は、Hのすべての閉部分群の空間をどのように分割するか。

主な発見

• 3次元ヘイゼンベルク群Hの閉部分群の空間𝒞(H)は6次元の特異的位相的空間である。
• 格子の空間ℒₙ(H)は同相的に同調空間ℝ² ⋊ GL₂(ℝ) / ℤ² ⋊ GL₂(ℤ)に写る。
• ℒₙ(H)の前線はnに依存せず、Aut(H)-軌道閉包𝒜(H)と𝒞≥Z(H) igcup ℒ∞(H)に含まれる2次元球面Σ²の和集合から成る。
• 前線は9つの部分空間に分解される：(i)–(vi)は𝒜(H)を構成し、(vii)と(viii)はΣ² ackslash (Σ² ∩ 𝒜(H))にあり、(ix)はℒ∞(H)の補集合𝒞≥Z(H)に属する。
• 成分(vi)を除くすべての成分はAut(H)-軌道の有限和集合であり、𝒞(H)において閉じている。
• n ≥ 1のℒₙ(H)の和集合は𝒞(H)において稠密であり、9つの前線成分と合わせて𝒞(H)の分割をなす。