[論文レビュー] Spaces of pseudo-Riemannian geodesics and pseudo-Euclidean billiards

Boris Khesin, Serge Tabachnikov|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、擬リーマン多様体上の擬リーマン的測地線空間にシンプレクティック構造および接触構造を確立する。空間的・時間的測地線はシンプレクティック形式を備え、光的測地線は接触構造を有する。これは古典的なリーマン幾何の結果を拡張するものである。本稿では擬ユークリッド的ビリヤードを導入し、ヤコビ＝シャスルの定理の類似を証明することで、擬ユークリッド的楕円体上の測地線流れおよびそれらの内部におけるビリヤードの可積分性を示している。

ABSTRACT

Many classical facts in Riemannian geometry have their pseudo-Riemannian analogs. For instance, the spaces of space-like and time-like geodesics on a pseudo-Riemannian manifold have natural symplectic structures (just like in the Riemannian case), while the space of light-like geodesics has a natural contact structure. We discuss the geometry of these structures in detail, as well as introduce and study pseudo-Euclidean billiards. In particular, we prove pseudo-Euclidean analogs of the Jacobi-Chasles theorems and show the integrability of the billiard in the ellipsoid and the geodesic flow on the ellipsoid in a pseudo-Euclidean space.

研究の動機と目的

• 測地線空間に関する古典的なリーマン幾何的結果を、擬リーマン的設定に拡張すること。
• 空間的・時間的・光的測地線の空間に自然に生じる幾何的構造（シンプレクティックおよび接触）を調査すること。
• 擬ユークリッド的ビリヤードを導入し、その力学的性質を分析すること。
• ヤコビ＝シャスルの定理の擬ユークリッド的類似を確立すること。
• 擬ユークリッド的楕円体上の測地線流れおよびその内部におけるビリヤードの可積分性を証明すること。

提案手法

• 擬リーマン多様体上の空間的・時間的測地線の空間に自然に生じるシンプレクティック構造の分析。
• 光的測地線の空間に生じる接触構造を、重要な幾何的不変量として特定すること。
• 不定な二次形式における反射法則を用いて、擬ユークリッド的ビリヤードの力学を定式化すること。
• シンプレクティック幾何および接触幾何の技法を用いて、古典的な可積分性結果を不定符号に拡張すること。
• ヤコビ＝シャスル対応を用いて、ビリヤードの力学と二次曲面上の測地線流れを関連させること。
• 位相空間における保存量の存在および不変ファイブレーションを用いて、可積分性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬リーマン的測地線空間に自然に生じる幾何的構造は何か。また、リーマン的場合にどのように一般化されるか。
• RQ2 不確定な計量を持つ擬ユークリッド空間に、ビリヤード理論をどのように拡張できるか。
• RQ3 測地線およびビリヤード力学の文脈において、古典的ヤコビ＝シャスルの定理の擬ユークリッド的類似は何か。
• RQ4 擬ユークリッド的楕円体上の測地線流れが可積分となる条件は何か。
• RQ5 シンプレクティック幾何および接触幾何を用いて、擬ユークリッド的楕円体内部のビリヤード流れが可積分であることを示せるか。

主な発見

• 擬リーマン多様体上の空間的・時間的測地線の空間には、自然なシンプレクティック構造が存在し、リーマン的場合に一般化される。
• 光的測地線の空間には自然な接触構造が存在し、不確定符号における新しい幾何的不変量を提供する。
• 擬ユークリッド的ビリヤードは、不確定な二次形式における反射法則を用いて定義され、古典的ユークリッド的ビリヤード理論が拡張される。
• 本稿では、ヤコビ＝シャスルの定理の擬ユークリッド的類似を証明し、ビリヤードの力学と二次曲面上の測地線流れを結びつける。
• 擬ユークリッド的楕円体上の測地線流れは可積分であることが示され、その背後にある二次形式から保存量が生じる。
• 擬ユークリッド的楕円体内部のビリヤード流れについても、可積分性が証明され、古典的な可積分性結果が不確定幾何に直接拡張されることを確立する。