[論文レビュー] Spaces of tilings, finite telescopic approximations and gap-labelling

Jean Bellissard, Riccardo Benedetti+1 more|ArXiv.org|Sep 10, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、分岐・向き付けられた平坦な $ d $-次元多様体の射影極限として連続なヘイジュー $ \Omega_T $ を構成することにより、$ \mathbb{R}^d $ 内の非周期的タイル張りのギャップラベル定理を確立する。これにより、系の力学的および位相的不変量を反映する有限のテレスコピック近似が可能になる。主な結果は、関連する $ C^* $-代数 $ \mathcal{A}_T $ の $ K_0 $-群のギャップラベルの集合が、カントール集合的横断 $ \Gamma_T $ 上の横断的不変測度 $ \mu^t $ が整数値連続関数に作用する像に一致することを証明し、長年の予想を裏付ける。

ABSTRACT

For a large class of tilings, including the Penrose tiling in two dimension as well as the icosahedral ones in 3 dimension, the continuous hull of such a tiling inherits a minimal lamination structure with flat leaves and a transversal which is a Cantor set. In this case, we show that the continuous hull can be seen as the projective limit of a suitable sequence of branched, oriented and flat compact manifolds.The algebraic topological features related to this sequence reflect the dynamical properties of the action on the continuous hull. In particular the set of positive invariant measures of this action turns to be a convex cone, canonically associated with the orientation, in the projective limit of the top homology groups of the branched manifolds. As an application of this construction we prove a gap-labelling theorem.

研究の動機と目的

• 非周期的タイル張りの連続ヘイジュー $ \Omega_T $ を、有限局所的複雑性と再帰性を有する $ \mathbb{R}^d $ 内で理解するための幾何的・位相的枠組みを提供すること。
• 分岐・向き付けられた平坦な $ d $-次元多様体の射影極限を用いた有限テレスコピック近似スキームを確立し、$ \Omega_T $ 上の $ \mathbb{R}^d $-作用の漸近的力学をモデル化すること。
• 関連する $ K_0 $-群のギャップラベルの集合が、$ \mathcal{A}_T $ の $ C^* $-代数に対して、整数値連続関数による $ \Gamma_T $ 上の横断的測度 $ \mu^t $ の像に一致することを示すことにより、ギャップラベル予想を証明すること。

提案手法

• 連続ヘイジュー $ \Omega_T $ を、各々が漸近的力学系の有限近似を提供する分岐・向き付けられた平坦なコンパクト $ d $-次元多様体の列の射影極限として表現する。
• $ \Omega_T $ 上の $ \mathbb{R}^d $-作用を用いて、近似多様体の向きに自然に関連する正の不変測度の凸錐を定義する。
• 近似多様体の $ d $-次元コホモロジーと関連する、$ \mathcal{A}_T = \mathcal{C}(\Omega_T) \rtimes \mathbb{R}^d $ の $ K_0 $-群を、トム＝コンス同型を用いて構成する。
• ボット周期性およびピムスナー＝ヴォイクレスク完全系列を用いて、$ K_0(\mathcal{A}_T) $ を近似多様体のホモロジーおよび射影のチャーン類に関連付ける。
• トム＝コンス定理を適用し、$ K_0(\mathcal{A}_T) $ 上のトレース $ \mathcal{T}_\mu(P) $ を、$ \mu^t $ と $ k_d \eta $ が代表する整数係数コホモロジー類とのペアリングとして表現する。ここで $ \eta $ はユニタリーや射影から導かれる微分形式である。
• $ k_d \eta $ が $ H^d(B_n, \mathbb{Z}) $ 内の整数係数コホモロジー類（チャーン類）を表すことを示し、トレース値が $ d $ が偶数の場合は $ <\mu^t, c_{[d/2]}(\beta)> $、奇数の場合は $ <S\mu_n, c_{[(d+1)/2]}(\beta)> $ に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非周期的タイル張りの連続ヘイジュー $ \Omega_T $ は、有限次元の分岐・向き付けられた平坦な $ d $-次元多様体を用いてどのように近似できるか？
• RQ2 $ \mathcal{A}_T $ の $ K_0 $-群と近似多様体の $ d $-次元ホモロジー群の射影極限との間には、どのような正確な関係があるか？
• RQ3 $ \mathcal{A}_T $ の $ K_0 $-群のギャップラベル集合は、カントール集合 $ \Gamma_T $ 上の横断的不変測度 $ \mu^t $ が整数値連続関数に作用する像に一致するか？
• RQ4 $ \mathcal{A}_T $ の $ K $-理論における射影のチャーン類は、不変測度 $ \mu $ に対するトレース値 $ \mathcal{T}_\mu(P) $ とどのように関係するか？
• RQ5 幾何的近似とトム＝コンス同型を用いて、高次元におけるギャップラベル予想を厳密に証明できるか？

主な発見

• 有限局所的複雑性と再帰性を有するタイル張りの連続ヘイジュー $ \Omega_T $ は、分岐・向き付けられた平坦なコンパクト $ d $-次元多様体の列の射影極限として実現される。
• $ \Omega_T $ 上の正の $ \mathbb{R}^d $-不変測度の集合は、近似多様体の向きに自然に関連し、それらの $ d $-次元ホモロジー群の射影極限内の凸錐をなす。
• ギャップラベル定理が証明された：$ \mathcal{T}_\mu(K_0(\mathcal{A}_T)) = \int_{\Gamma_T} d\mu^t \, \mathcal{C}(\Gamma_T, \mathbb{Z}) $ であり、ギャップラベルが正確に横断的カントール集合 $ \Gamma_T $ 上での整数値連続関数の積分に一致することを確認した。
• $ \mathcal{T}_\mu(P) $ のトレース値は、$ d $ が偶数のとき $ <\mu^t, c_{[d/2]}(\beta)> $、$ d $ が奇数のとき $ <S\mu_n, c_{[(d+1)/2]}(\beta)> $ に等しくなる。ここで $ \beta $ はトム＝コンス同型による $ [P] $ の像である。
• トム＝コンス定理における正規化定数 $ k_d $ は、微分形式 $ k_d \eta $ が $ H^d(B_n, \mathbb{Z}) $ 内の整数係数コホモロジー類（チャーン類）を表すことを保証し、$ K $-理論と整数係数コホモロジーを結びつける。
• 本結果により、横断的カントール集合構造を有するタイルヘイジューにおける $ \mathbb{R}^d $-不変測度に対するギャップラベル予想が確認され、$ d=1 $ および $ d=2 $ の既存結果を任意の $ d $ へ一般化した。